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18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形学前温故新课早知1.平行四边形的性质:平行四边形的两组对边分别,且;两组对角分别;对角线.2.平行四边形的判定:(1)两组对边分别的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别的四边形是平行四边形;(3)一组对边的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别的四边形是平行四边形;(5)对角线的四边形是平行四边形.相等平行相等互相平分平行相等平行且相等相等互相平分学前温故新课早知1.矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做,也就是长方形.2.矩形的性质矩形的四个角都是;矩形的对角线.3.矩形的一组邻边长分别为3cm和4cm,则它的对角线长是.4.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的.5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,CD=4cm,则AB=cm.6.矩形的判定定理(1)对角线的平行四边形是矩形.(2)有三个角是的四边形是矩形.矩形直角相等5cm一半8相等直角学前温故新课早知7.(1)如果要使▱ABCD成为一个矩形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是;(2)在四边形ABCD中,已知AB⊥BC,AD∥BC,要使四边形ABCD成为一个矩形,还需添加的一个条件可以是.如∠A=90°,AC=BD等如∠C=90°或∠D=90°或AD=BC等1.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为△ABC的高,∠B=2∠C,M为BC的中点,求证:DM=AB.12证明:取AC的中点N,连接MN,DN.∵M为BC的中点,∴MN∥AB,且MN=AB,∴∠B=∠NMC.∵AD⊥BC,N为AC的中点,∴DN=AC=CN,∴∠C=∠NDM,又∠NMC=∠MDN+∠MND,∠B=2∠C,∴∠MDN=∠MND,∴DM=MN,∴DM=AB.1212122.矩形的判定【例2】如图,在▱ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.3.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折叠,使顶点B与顶点D重合,折痕为EF.若AB=,AD=3,则△DEF的周长为.3解析:∵沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A'的位置,∴A'E=AE,A'D=AB=,BF=DF.∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=,BC=AD=3,∠C=∠A=90°.在Rt△DCF中,设CF=x,则DF=BF=3-x,由勾股定理得33x2+()2=(3-x)2,解得x=1,∴DF=3-x=3-1=2.在Rt△A'DE中,设A'E=y,则DE=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+()2=(3-y)2,解得y=1,∴DE=3-y=3-1=2.连接BD交EF于点O,∵点B与D关于EF对称,∴BO=DO=12BD=12·𝐵𝐶2+𝐶𝐷2=3.在Rt△EDO中,EO=𝐸𝐷2-𝑂𝐷2=22-3=1,易证△DOE≌△BOF,∴EO=OF=1,EF=2.∴△DEF的周长为DE+DF+EF=2+2+2=6.答案:63312345671.已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则与∠OAB相等的角有(不包括∠OAB)().A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案关闭C12345672.下面检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是().A.用卷尺测量对角线是否互相平分B.用卷尺测量对角线是否相等C.用曲尺测量对角线是否互相垂直D.用曲尺测量门框的三个角是否为直角答案答案关闭D12345673.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AC=8,则EF=.答案解析解析关闭根据矩形的对角线相等且互相平分得OD=4,再根据三角形中位线的性质得EF=12OD=2.答案解析关闭212345674.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EF⊥BD.答案答案关闭证明连接DE,BE.∵∠ABC=∠ADC=90°,且E是AC边的中点,∴DE=BE.又DF=BF,∴EF⊥BD.12345675.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm,那么矩形的周长是多少?答案答案关闭解因为△AOB,△BOC,△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm,又因为AC=BD=13cm(矩形的对角线相等),所以AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34(cm),即矩形ABCD的周长等于34cm.12345676.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∠1=15°.(1)求∠2的度数;(2)求证:BO=BE.答案答案关闭(1)解∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°.∴∠AEB=90°-45°=45°,∴∠2=∠AEB-∠1=30°.(2)证明∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=12AC,OB=12BD,∴OA=OB.∵∠BAE=45°,∠1=15°,∴∠BAO=60°.∴△ABO是等边三角形.∴OB=AB.又∠BAE=∠AEB=45°,∴BE=AB.∴BO=BE.12345677.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm.(1)求证:▱ABCD是矩形.(2)求▱ABCD的面积.答案答案关闭.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵△AOB是等边三角形,∴AO=BO.∴AC=BD.∴▱ABCD是矩形.(2)解由△AOB是等边三角形,且AB=4cm,得AC=2AO=2AB=8cm.由勾股定理,得BC=43cm,∴S▱ABCD=4×43=163(cm2).