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18.1.2平行四边形的判定学前温故新课早知1.平行四边形的定义:有两组对边分别的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质:平行四边形的两组对边分别且,两组对角分别,对角线.平行平行相等相等互相平分学前温故新课早知1.平行四边形的判定定理(1)两组对边分别的四边形是平行四边形.(2)对角线的四边形是平行四边形.(3)两组对角分别的四边形是平行四边形.(4)一组对边的四边形是平行四边形.2.能够判定四边形ABCD是平行四边形的条件是().A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD相等互相平分相等平行且相等C学前温故新课早知3.如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是().A.若AO=OC,则四边形ABCD是平行四边形B.若AC=BD,则四边形ABCD是平行四边形C.若AO=BO,CO=DO,则四边形ABCD是平行四边形D.若AO=OC,BO=OD,则四边形ABCD是平行四边形4.连接三角形两边的线段叫做三角形的中位线.5.三角形有条中位线.D中点3学前温故新课早知6.三角形的中位线定理三角形的中位线于三角形的第三边,并且等于第三边的.7.已知在△ABC中,BC=6cm,E,F分别是AB,AC的中点,则EF的长是cm.平行一半31.平行四边形的性质与判定的综合应用【例1】如图,在▱ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使得BE=DF,试猜测AC与EF有什么关系,并加以证明.分析:两条线段的数量关系有相等和倍分,位置关系有平行和相交,分析本题可证四边形AECF是平行四边形,则AC与EF互相平分.解:AC与EF互相平分.(方法一)连接AF,CE,如图.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,CF∥AE.∴∠CFE=∠AEF.又DF=BE,∴CF=AE.又EF=FE,∴△CFE≌△AEF.∴∠CEF=∠AFE,∴CE∥AF.∴四边形AECF是平行四边形,∴AC与EF互相平分.(方法二)连接AF,CE,如图.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB.∵DF=BE,∴CF=AE.又CF∥AE,∴四边形AECF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴AC与EF互相平分.2.三角形的中位线定理【例2】如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,BE,CD相交于点O,点F,G分别是线段OB,OC的中点.求证:DG,EF互相平分.分析:显然,DE是△ABC的一条中位线,FG是△OBC的一条中位线,且两三角形有公共边BC,因为利用三角形中位线定理,易于得到DE∥FG,且DE=FG,所以可证四边形DFGE是平行四边形.证明:∵点D,E分别是边AB,AC的中点,F,G分别是线段OB,OC的中点,∴DE是△ABC的中位线,FG是△OBC的中位线.∴DE∥BC,且DE=BC,FG∥BC,且FG=BC.∴DE∥FG,且DE=FG,∴四边形DFGE是平行四边形.∴DG,EF互相平分.121212345671.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是().A.∠A=∠C,∠B=∠DB.AD=BC,AB=CDC.AB=CD,AD∥BCD.AB∥CD,AD∥BC答案解析解析关闭一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故C错误.答案解析关闭C12345672.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别为AD,BC,BD的中点,若∠MPN=130°,则∠NMP等于().A.25°B.30°C.35°D.50°答案解析解析关闭根据三角形中位线定理及条件AB=CD,易知PM=PN,∴∠NMP=(180°-130°)÷2=25°.答案解析关闭A12345673.在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为.(填一个即可)答案答案关闭答案不唯一,如AB=CD或∠A=∠C或AD∥BC12345674.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列条件时:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠AED=∠CFB,四边形DEBF不一定是平行四边形.(填序号)答案答案关闭②12345676.在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.答案答案关闭证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.又△ADE和△CBF都是等边三角形,∴DE=BF,AE=CF,∠DAE=∠BCF=60°.∵∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE,∴∠DCF=∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).∴DF=BE.∴四边形BEDF是平行四边形.12345675.如图,AD=CD,ED=FD,EF∥BC,求证:四边形EBCF是平行四边形.答案答案关闭证明∵AD=CD,ED=FD,∴四边形AECF是平行四边形.∴AB∥CF.又EF∥BC,∴四边形EBCF是平行四边形.12345677.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,求线段DF的长.答案答案关闭在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=64+36=10,∴CE=12AC=5.由三角形中位线定理,得DE=12BC=3,且DE∥BC,∴∠EFC=∠FCM.又∠ECF=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EF=EC=5.∴DF=DE+EF=3+5=8.