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-1-1.5柱坐标系和球坐标系ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.2.与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别与联系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.柱坐标系(1)定义:设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),M点在xOy坐标面上的投影点为M0,M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ,θ),如图所示,则三个有序数ρ,θ,z构成的数组(ρ,θ,z)称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中,限定ρ≥0,0≤θ2π,z为任意实数.由此可见,柱坐标就是平面上的极坐标,加上与平面垂直的一个直角坐标.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝑧=𝑧.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】设点P的直角坐标为(1,1,3),则它的柱坐标是.【做一做1-2】柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是.答案:以z轴所在直线为轴,以2为底面半径的圆柱的侧面答案:2,π4,3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.球坐标系(1)定义:设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),点M在xOy坐标面上的投影点为M0,连接OM和OM0.如图所示,设z轴的正向与向量𝑂𝑀的夹角为𝜑,𝑥轴的正向与𝑂𝑀0的夹角为𝜃,𝑀点到原点𝑂的距离为𝑟,则由三个数𝑟,𝜃,𝜑构成的有序数组𝑟,𝜃,𝜑称为空间中点𝑀的球坐标.若设投影点𝑀0在𝑥𝑂𝑦平面上的极坐标为𝜌,𝜃,则极坐标𝜃就是上述的第二个球坐标𝜃.在球坐标中限定𝑟≥0,0≤θ2π,0≤φ≤π.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)之间的变换公式为𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2】已知点M的球坐标为4,π4,3π4,则它的直角坐标是____________,它的柱坐标是_______________.答案:(2,2,-22)22,π4,-22ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标的基础上建立的.在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标中,我们需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,θ,φ.空间直角坐标:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z).这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.如果点M在yOz平面上,那么x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,那么y=z=0;如果点M是原点,那么x=y=z=0等.几种三维坐标互不相同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.建立空间坐标系的方法剖析我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建立坐标系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形有一定的对称关系(如:正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形中没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型一直角坐标与柱坐标的互化【例1】设点M的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标.分析把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝑧=𝑧,求出ρ,θ即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则有1=𝜌cos𝜃,1=𝜌sin𝜃,𝑧=1,解得ρ=2,𝜃=π4.因此,点M的柱坐标为2,π4,1.反思由直角坐标求柱坐标,可以先设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变换公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝑧=𝑧求ρ和θ;也可以利用ρ2=x2+y2求ρ,利用tanθ=𝑦𝑥求θ,在求θ时,要特别注意角θ的终边所在的象限,从而确定θ的取值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型二直角坐标与球坐标的互化【例2】已知点M的球坐标为2,3π4,3π4,求它的直角坐标.分析利用变换公式𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑求解,其中r=𝑥2+𝑦2+𝑧2,cos𝜑=𝑧𝑟,tan𝜃=𝑦𝑥.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:设点M的直角坐标为(x,y,z),则有𝑥=2sin3π4cos3π4=2×22×-22=-1,𝑦=2sin3π4sin3π4=2×22×22=1,𝑧=2cos3π4=2×-22=-2.故点M的直角坐标为(-1,1,−2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思由直角坐标求球坐标,可以先设点M的球坐标为(r,θ,φ),利用变换公式𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑求出r,φ,θ即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tanθ=𝑦𝑥,cos𝜑=𝑧𝑟来求.需要特别注意的是在求φ和θ时,要先弄清楚点M所在的位置.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型三求空间一点的坐标【例3】一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,……,十六区,我们设圆形体育馆第一排座位与体育馆中心的距离为200m,每相邻两排座位的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:以圆形体育馆中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转17π16,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.点A的柱坐标为203,17π16,2.8.反思求空间中一点的柱坐标,与求平面内点的极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面内点的极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型四柱坐标系、球坐标系的应用【例4】已知点P1的球坐标是P123,π4,π3,点𝑃2的柱坐标是𝑃26,π6,1,求|𝑃1𝑃2|.分析先把两点坐标均化为空间直角坐标,再用空间两点间的距离公式求距离.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:设P1的直角坐标为P1(x1,y1,z1),则𝑥1=23sinπ3cosπ4=322,𝑦1=23sinπ3sinπ4=322,𝑧1=23cosπ3=3,所以P1的直角坐标为322,322,3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五设P2的直角坐标为P2(x2,y2,z2),则𝑥2=6cosπ6=322,𝑦2=6sinπ6=62,𝑧2=1,所以P2的直角坐标为322,62,1.故|P1P2|=0+322-622+(3-1)2=30-102.反思柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型五易错辨析【例5】设点M的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.错解点M的球坐标为(2,2,2).错因分析球坐标和柱坐标与直