搜索
-1-1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆)的方程.2.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.曲线C的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ,θ)=0,如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有点组成的,则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程.名师点拨(1)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多组表示形式,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如,对极坐标方程ρ=θ,点𝑀π4,π4可以表示为π4,π4+2π或π4,π4-2π等多种形式,其中只有π4,π4的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234(2)今后我们遇到的极坐标方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ为θ的一个函数.(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=π2所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点(a,0)(a0)处,且圆过极点O,P(2a,0)为圆与极轴的另一交点,圆的半径为a,则圆的极坐标方程为ρ=2acosθ,−π2≤θ≤π2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.圆心在点𝑎,π2处且过极点的圆圆心在点𝑎,π2𝑎0处,且圆过极点𝑂,圆与射线𝜃=π2的交点为𝑃2𝑎,π2,圆的半径为𝑎,则圆的极坐标方程为𝜌=2𝑎sin𝜃,0≤θ≤π.【做一做1-1】极坐标方程ρ=1表示()A.直线B.射线C.圆D.椭圆答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1-2】在极坐标系中,求圆心为𝐴8,π3,半径为5的圆的方程.解:在圆上任取一点P(ρ,θ),则在△AOP中,|OA|=8,|AP|=5,∠AOP=π3−𝜃或𝜃−π3.由余弦定理得cos∠AOP=82+𝜌2-522×8×𝜌,即ρ2-16ρcos𝜃-π3+39=0为所求圆的极坐标方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.过极点的直线的极坐标方程直线l经过极点,极轴与直线l的夹角是θ0,则直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R).名师点拨求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径ρ和极角θ之间的关系,常用解三角形的知识(正弦定理、余弦定理)、利用三角形的面积相等等来建立ρ,θ之间的关系.【做一做2-1】极坐标方程表示的曲线是()A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线答案:Asinθ=13(𝜌∈R)【做一做2-2】曲线θ=0,θ=π3(𝜌≥0)和ρ=4所围成的图形的面积是.答案:8π3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.直角坐标系与极坐标系的区别剖析(1)在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)(n为整数)表示的是同一个点,所以在极坐标系内点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.(2)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).可是在极坐标系内,虽然是一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程不是一一对应的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123(3)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标为π4,π4,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标π4,9π4就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,确定某一个点P是否在某一曲线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.求极坐标方程的步骤剖析求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ,θ的关系式F(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程,具体如下:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理,化简,得出曲线的极坐标方程.(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,则证明可以省略.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.常见的直线和圆的极坐标方程剖析(1)直线的极坐标方程(a0).①过极点,并且与极轴成θ0角的直线的极坐标方程:θ=θ0(ρ∈R);②垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:ρcosθ=a;③平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:ρsinθ=a;④不过极点,和极轴成α角,到极点的距离为a的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123(2)圆的极坐标方程(a0).①圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=a;②圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2acosθ;③圆心在(a,π),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=-2acosθ;⑥圆心在(a,θ0),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2acos(θ-θ0).④圆心在𝑎,π2,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2asinθ;⑤圆心在𝑎,3π2,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=-2asinθ;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一圆的极坐标方程【例1】求圆心在点𝐴2,3π2处,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.解:如图,设M(ρ,θ)为圆上除点O,B外的任意一点,连接OM,MB,则有OB=4,|OM|=ρ,∠MOB=𝜃-3π2,∠BMO=π2,从而△BOM为直角三角形,所以有|OM|=|OB|cos∠MOB,即ρ=4cos𝜃-3π2=−4sinθ,点O(0,0),𝐵4,3π2也适合此方程,故所求的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.化为直角坐标方程为x2+y2+4y=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思求曲线的极坐标方程的关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,然后化简,最后求出ρ与θ的函数关系,即为要求的极坐标方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二直线的极坐标方程【例2】求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程.分析本题可用两种解法:(1)可先根据题意画出草图,并设点M(ρ,θ)是直线上的任意一点,从而由等量关系建立关于ρ,θ的方程并化简,最后检验是否是所求即可;(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,然后由公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃化为极坐标方程即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解法一如图,设M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点,则∠xAM=π4,∠OAM=3π4,∠OMA=π4−𝜃,在△OAM中,由正弦定理得𝑂𝑀sin∠𝑂𝐴𝑀=𝑂𝐴sin∠𝑂𝑀𝐴,即𝜌sin3π4=1sinπ4-𝜃,所以ρsinπ4-𝜃=22,即𝜌sinπ4cos𝜃-cosπ4sin𝜃=22,化简,得ρ(cosθ-sinθ)=1,经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程,所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴,建立平面直角坐标系xOy,直线方程为y=x-1,将y=ρsinθ,x=ρcosθ(ρ≥0)代入上式,得ρsinθ=ρcosθ-1,所以ρ(cosθ-sinθ)=1.反思可通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式,从而建立以ρ,θ为未知数的方程;也可先求出直线的直角坐标方程,再通过利用直角坐标向极坐标转化的公式间接得解.直线的斜率k=tanπ4=1,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:(1)射线y=3𝑥(𝑥≤0);(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).分析由公式𝑥=𝜌cos𝜃𝑦=𝜌sin𝜃化简即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练D