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-1-第一章坐标系-2-1.1直角坐标系,平面上的伸缩变换ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.回顾在直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2.通过具体例子,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.直角坐标系(1)直线上点的坐标;(2)平面直角坐标系;(3)空间直角坐标系.名师点拨(1)直角坐标系的作用:使点与坐标(有序实数组)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),且满足𝐵𝐴⊥𝐴𝐶,则𝑥的值为()A.3B.6C.7D.9解析:𝐵𝐴=(1,−1),𝐴𝐶=(5,𝑥−2).∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐶,∴𝐵𝐴·𝐴𝐶=5−(𝑥−2)=0.∴𝑥=7.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-2】已知平行四边形ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明如图,以边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0).设B(a,0),C(b,c),则D(b-a,c),∴AB2=a2,AD2=(b-a)2+c2,AC2=b2+c2,BD2=(b-2a)2+c2.∵AC2+BD2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),而AB2+AD2=2a2+b2+c2-2ab,∴AC2+BD2=2(AB2+AD2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.平面上的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面上的伸缩变换:设点P(x,y)是平面上任意一点,在变换𝑋=𝑎𝑥,𝑎0,𝑌=𝑏𝑦,𝑏0的作用下,点𝑃(𝑥,𝑦)对应到点𝑄(𝑋,𝑌),称为平面上的伸缩变换.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12答案:D【做一做2-1】由正弦曲线y=sinx得到y=12sin12𝑥的图象经过的变换为()A.将横坐标压缩为原来的12,纵坐标也压缩为原来的12B.将横坐标压缩为原来的12,纵坐标伸长为原来的2倍C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的12ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12答案:D【做一做2-2】将正弦曲线y=sinx作如下变换:𝑋=2𝑥,𝑌=13𝑦,得到的曲线方程为()A.Y=3sin12𝑋B.𝑌=13sin2𝑋C.Y=12sin2𝑋D.𝑌=13sin12𝑋ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航建立平面直角坐标系的方法剖析一般情况下,有如下建立平面直角坐标系的方法:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;(3)当题目中有长度已知的线段时,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点,建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.平面直角坐标系建立完后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一用平面直角坐标系解决实际问题【例1】如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东方向,两地相距6km,C在B的北偏西30°方向,两地相距4km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1km/s,4s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的位置P的坐标.分析由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线的右支上.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设点P的坐标为(x,y),则A(3,0),B(-3,0),C(-5,23).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为线段BC所在直线的斜率为kBC=−3,𝐵𝐶的中点D(-4,3),所以直线PD的方程为y−3=33(𝑥+4).①又因为|PB|-|PA|=4,所以点P必在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为𝑥24−𝑦25=1(𝑥≥2).②联立①②,解得x=8或x=−3211(舍去),所以y=53.所以点P的坐标为(8,53).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键,若坐标系建立得合理,则可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,反之,将会带来计算的烦琐,结果也不明确.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二平面直角坐标系下的轨迹问题【例2】△ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是2a,边BC上的高是b,边BC沿一条直线移动,求△ABC外心的轨迹方程.解:以边BC所在的定直线为x轴,过A作x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,则点A的坐标为(0,b).设△ABC的外心为M(x,y).取BC的中点N,则MN⊥BC,即MN是BC的垂直平分线.∵|BC|=2a,∴|BN|=a,|MN|=|y|.又M是△ABC的外心,∴|MA|=|MB|.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思解决求轨迹方程的问题,在掌握求轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意:(1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择得恰当,可使解题过程简化,减少计算量;(2)要注意给出轨迹的范围,在限定范围的基础上求轨迹方程.若只求出轨迹方程,而没有根据题目要求,确定出x,y的取值范围,则最后的结论是不完备的.又|MA|=𝑥2+(𝑦-𝑏)2,|MB|=|𝑀𝑁|2+|𝐵𝑁|2=𝑦2+𝑎2,∴𝑥2+(𝑦-𝑏)2=𝑦2+𝑎2,化简,得所求的轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三平面上的伸缩变换【例3】在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换𝑋=3𝑥,𝑌=12𝑦后,圆𝑥2+𝑦2=1变成了什么曲线?分析将伸缩变换中的x,y分别用X,Y表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:∵𝑋=3𝑥,𝑌=12𝑦,∴𝑥=13𝑋,𝑦=2𝑌,代入圆的方程x2+y2=1,得13𝑋2+2𝑌2=1,∴𝑋29+4𝑌2=1.∴经过伸缩变换𝑋=3𝑥,𝑌=12𝑦后,圆x2+y2=1变成了椭圆𝑋29+4𝑌2=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析【例4】在平面直角坐标系中,求方程x+y+2=0所对应的图形经过伸缩变错解直线x+8y+4=0.错因分析点(x,y)在原曲线上,点(X,Y)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原曲线的方程,点(X,Y)的坐标适合变换后的曲线方程.错解混淆了(x,y)和(X,Y)的含义.换𝑋=12𝑥,𝑌=4𝑦后的图形.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四正解由坐标伸缩变换𝑋=12𝑥,𝑌=4𝑦得𝑥=2𝑋,𝑦=14𝑌.代入x+y+2=0,得2X+14𝑌+2=0,即8X+Y+8=0.故经过伸缩变换𝑋=12𝑥,𝑌=4𝑦后,直线x+y+2=0变成了直线8X+Y+8=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是()A.1B.2C.3D.4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12345解析:若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0),由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,∴有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+(0-3)2+(x-3)2+(0-1)2,解得x1=0,x2=2.∴点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y