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-1-本章整合知识建构综合应用真题放送知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题一利用相似三角形证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步:(1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似.(2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1如图,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AC的中点,连接ED并延长与AB的延长线交于点F.求证:𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐹.提示由条件知AB∶AC=BD∶AD,转化为证明BD∶AD=DF∶AF,即证△FAD∽△FDB.证明∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,∴∠C=∠BAD,∴Rt△ADB∽Rt△CAB.∴AB∶AC=BD∶AD.又E是AC的中点,∴AE=DE=EC.∴∠DAE=∠ADE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐹.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.求证:AM2=DM·EM.提示将AM2=DM·EM化为𝐴𝑀𝐷𝑀=𝐸𝑀𝐴𝑀,只需证明△AMD∽△EMA即可.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五证明∵∠BAC=90°,M是BC的中点,∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.∴𝐴𝑀𝐷𝑀=𝐸𝑀𝐴𝑀.∴AM2=DM·EM.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题二利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用3如图,AD,CF是△ABC的两条高,在AB上取一点P,使AP=AD,再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证:PQ=CF.提示利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五证明∵AD,CF是△ABC的两条高,∴∠ADB=∠BFC.又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBF.∴𝐴𝐷𝐶𝐹=𝐴𝐵𝐶𝐵.∵PQ∥BC,∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠ACB.∴△APQ∽△ABC.∴𝑃𝑄𝐵𝐶=𝐴𝑃𝐴𝐵,即𝐴𝑃𝑃𝑄=𝐴𝐵𝐵𝐶.∴𝐴𝐷𝐶𝐹=𝐴𝑃𝑃𝑄.又AP=AD,∴PQ=CF.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用4如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.求证:PQ=PB.提示要证明PQ=PB,直接证明不容易证,可以先证明有关的三角形相似得出比例式,再由等式的性质证明其相等.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五证明∵PQ∥BC,BC∥AE,∴PQ∥AE.∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE.而由题意,知AE=DE,∴PQ=PB.∴△CPQ∽△CEA.∴𝑃𝑄𝐸𝐴=𝐶𝑃𝐶𝐸.同理可得𝑃𝐵𝐸𝐷=𝐶𝑃𝐶𝐸.∴𝑃𝑄𝐸𝐴=𝑃𝐵𝐸𝐷.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行线分线段的规律性质平行线分线段的相关定理即平行截割定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律.主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用5如图,在△ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=AB,连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证:BC=2CD.证明过点C作CF∥AB交ED于点F.则𝐶𝐹𝐴𝐸=𝐶𝑀𝑀𝐴.∵AM=CM,∴CF=AE=14AB.∴CF=13BE.∵CF∥AB,∴𝐶𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐷𝐵𝐷=13.∴BD=3CD,即BC+CD=3CD.∴BC=2CD.14知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用6如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求证:EG∥BH.证明∵DE∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵.∵DH∥GC,∴𝐴𝐻𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐺.∴AE·AB=AC·AD=AH·AG.∴𝐴𝐸𝐴𝐻=𝐴𝐺𝐴𝐵,∴EG∥BH.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题四与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用7已知,如图,的度数之差为20°,弦AB与CD交于点E,∠CEB=60°,则∠CAB等于()A.50°B.45°C.40°D.35°解析:∵的度数之差为20°,∴∠CAE-∠ECA=×20°=10°.又∠CEB=∠CAE+∠ACE=60°,∴∠CAE=35°,即∠CAB=35°.答案:D𝐵𝐶与𝐴𝐷𝐵𝐶与𝐴𝐷12知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用8如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题五与圆有关的线段的计算与证明在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先考虑相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,从而获得成比例线段,然后结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明,或列出方程解得线段的长.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用9如图所示,过☉O外一点A作一条直线与☉O交于C,D两点,AB切☉O于点B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=.解析:由于AB是☉O的切线,则AB2=AC·AD.又AC=4,AB=6,所以AD=𝐴𝐵2𝐴𝐶=9.所以CD=AD-AC=9-4=5.又P是CD的中点,所以PD=PC=52.又MN与CD交于点P,则MP·NP=PD·PC=254.答案:254知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用10在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一圆于点E,F.求证:CG·ED=EG·CF.提示简单型的比例线段问题,主要是证明两个三角形相似.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五证明如图,连接AD,AE,BC,BF.∵∠D=∠ABC,∠AGD=∠CGB,∴△ADG∽△CBG.∴𝐴𝐺𝐶𝐺=𝐷𝐺𝐵𝐺.∴AG·BG=CG·DG.①同理△AEG∽△FBG.∴𝐴𝐺𝐹𝐺=𝐸𝐺𝐵𝐺.∴AG·BG=EG·FG.②由①②可得CG·DG=EG·FG,∴𝐶𝐺𝐹𝐺=𝐸𝐺𝐷𝐺.∴𝐶𝐺𝐹𝐺-𝐶𝐺=𝐸𝐺𝐷𝐺-𝐸𝐺.∴𝐶𝐺𝐶𝐹=𝐸𝐺𝐸𝐷.∴CG·ED=EG·CF.知识建构综合应用真题放送234156789101.(湖北高考)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为点D,点D在半径OC上的射影为点E.若AB=3AD,则的值为.𝐶𝐸𝐸𝑂知识建构综合应用真题放送23415678910解析:设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=AD·BD=8,答案:8则CD=22.在Rt△OCD中,DE=𝑂𝐷·𝐶𝐷𝑂𝐶=1×223=223.则CE=𝐷𝐶2-𝐷𝐸2=8-89=83,EO=OC-CE=3-83=13.因此𝐶𝐸𝐸𝑂=8313=8.知识建构综合应用真题放送234156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.解析:∠C与∠A在同一个☉O中,所对的弧都是,则∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,𝐵𝐷又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则𝑃𝐸𝑃𝐴=𝑃𝐷𝑃𝐸,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=6.答案:6知识建构综合应用真题放送234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于点D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=,AB=.解析:设PD=9k,则DB=16k(k0).由切割线定理可得PA2=PD·PB,即32=9k·25k,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=𝑃𝐵2-𝑃𝐴2=4.答案:954知识建构综合应用真题放送234156789104.(湖南高考)如图,在半径为的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.7知识建构综合应用真题放送23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,OC.由圆内相交弦定理知PD·PC=PA·PB,所以PC=4,CD=5,则CE=52,OC=7.所以O到CD距离为OE=(7)2-522=32.答案:32知识建构综合应用真题放送234156789105.(天津高考)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.知识建构综合应用真题放送23415678910解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四边形EBCA为平行四边形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,∴𝐶𝐹𝐵𝐹=𝐴𝐶𝐵𝐷=45.又CF+BF=BC=6,∴CF=83.答案:83知识建构综合应用真题放送234156789106.(重庆高考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.解析:在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=20,可得BC=10.由弦切角定理,可得∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,可求得CD=5,BD=15.又由切割线定理,可得CD2=DE·DB,可求得DE=5.答案:533知识建构综合应用真题放送234156789107.(广东高考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2