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-1-1.3圆幂定理与圆内接四边形-2-1.3.1圆幂定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割线定理及其应用.3.掌握圆幂定理及其应用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等符号语言☉O的两条弦AB和CD相交于P,则PA·PB=PC·PD图形语言作用证明线段成比例或求线段的长归纳总结垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于()A.1B.2C.3D.4解析:∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言从☉O外一点P引圆的切线PA和割线PBC,A是切点,则PA2=PB·PC图形语言作用证明线段成比例ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于()A.4B.6C.9D.36解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.圆幂定理已知☉(O,r),通过一定点P,作☉O的任一条割线交圆于A,B两点,设PA·PB=k,则当点P在圆外时,k=PO2-r2;当点P在圆内时,k=r2-OP2;当点P在☉O上时,k=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.与圆有关的比例线段问题剖析与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解法大致可分为以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,不妨把平方项线段利用中间积进行代换试试.(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,不妨就寻找“中间比”进行代换试试.与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.垂径定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.(5)𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐷𝐵,PD⊥AB;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型一相交弦定理的应用【例1】如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径r=.解析:如图,作直线OA交☉O于E,F两点,则AE=r-10,AF=r+10.由相交弦定理,得(r-10)(r+10)=64,反思相交弦定理的结论是等式,也可以看成线段成比例,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题.解得r1=241,r2=-241(不合题意,舍去).答案:241ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航𝐶𝐷题型一题型二题型二切割线定理的应用【例2】如图,AB切☉O于B,ACD为割线,E为的中点,BE交DC于F.求证:AF2=AC·AD.分析由切割线定理可知AC·AD=AB2,故只需证明AF=AB即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明如图,连接BC,BD,∵E为的中点,∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠CDB+∠DBE.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.𝐶𝐷反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到切割线定理.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.圆内两弦相交,其中一条弦长为8cm,且被交点平分,另一条被交点分为1∶4的两部分,则这条弦长为()A.2cmB.8cmC.10cmD.16cm解析:设所求弦长为5kcm,则由相交弦定理得42=k×4k,则k=2(-2舍去),故所求弦长为5k=5×2=10(cm).答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.如图,A,B,C是☉O上的三点,BE切☉O于点B,D是CE与☉O的交点.若∠BAC=70°,则∠CBE=;若BE=2,CE=4,则CD=.解析:由于BE是☉O的切线,则∠CBE=∠BAC=70°.由切割线定理,知EB2=ED·EC.又BE=2,CE=4,答案:70°3则ED=𝐸𝐵2𝐸𝐶=1.所以CD=CE-ED=3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=22,PC=4,圆心O到BC的距离为3,求圆O的半径.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234解:如图所示,取BC的中点D,连接OD和OB,则OD⊥BC.易知OD=3,则BC=2BD=2𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=2𝑂𝐵2-3.因为PA是圆O的切线,所以PA2=PB·PC.又PA=22,PC=4,所以PB=𝑃𝐴2𝑃𝐶=2.则BC=PC-PB=2.所以2𝑂𝐵2-3=2,解得OB=2,即圆O的半径为2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.如图,已知P为☉O外一点,OP与☉O交于点A,割线PBC与☉O交于点B,C,且PB=BC.若OA=7,PA=2,求PC的长.解:如图,延长PO交☉O于E,则PA·PE=PB·PC.设PC=x,∵PB=BC,∴PB=又PE=PA+AE=PA+2AO=16,∴2×16=·x,解得x=±8.又x0,∴x=8.∴PC=8.12x.12xZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航