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-1-1.2.3弦切角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解弦切角的概念,会判断弦切角.2.掌握弦切角定理的内容,并能利用它解决有关问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.弦切角顶点在圆周上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①;(2)圆心在角的一边上,如图②;(3)圆心在角的内部,如图③.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】如图,AB是☉O的一条弦,D是☉O上的任一点(不与A,B重合),EC与☉O相切于点B,则下列为弦切角的是()A.∠ADBB.∠AOBC.∠ABCD.∠BAO答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.弦切角定理文字语言弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半符号语言AB与☉O相切于点A,AC与☉O相交于点A,C,则∠BAC的度数=AmC的度数的一半图形语言作用证明角的度数与弧的度数的关系ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航归纳总结1.弦切角定理的推论:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.2.弦切角定理建立了弦切角与弧之间的数量关系,它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.3.圆心角、圆周角、弦切角的比较.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上,两边和圆相交顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切图形角与弧的关系∠AOB的度数=AB的度数∠ACB的度数=12AB的度数∠ACB的度数=12AC的度数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于()A.20°B.70°C.110°D.160°解析:∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-2】过圆内接△ABC的顶点A引☉O的切线交BC的延长线于点D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D为()A.45°B.50°C.55°D.60°解析:如图,∵AD为☉O的切线,∴∠DAC=∠B=35°.又∠ACB=80°,∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航对弦切角的理解剖析弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与圆相切.弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一平行问题【例1】如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的☉O与BC相切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EF∥BC.分析连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,所以相等,由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定EF∥BC.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明连接DF,如图.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC.∵BC切☉O于D,∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.反思当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行.证题时可以根据图形与已知条件合理地选择.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二线段成比例问题【例2】如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,CD的延长线交过点B的切线于点E.分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.求证:𝐶𝐷2𝐵𝐶2=𝐷𝐸𝐶𝐸.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明连接BD,如图.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.又BE为☉O的切线,∴∠EBD=∠BAD,∠EBD=∠BCD.故在△BED和△CEB中,∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,∴△BED∽△CEB.∴𝐵𝐷𝐵𝐶=𝐵𝐸𝐶𝐸,𝐵𝐷𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐸.∴𝐵𝐷𝐵𝐶2=𝐷𝐸𝐶𝐸.又BD=CD,∴𝐶𝐷2𝐵𝐶2=𝐷𝐸𝐶𝐸.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:忽视弦切角的一边是切线【例3】如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,求∠BAD.错解:∵AD⊥AC,∴∠BAD是弦切角.∴∠BAD=∠C.又∠C=32°,∴∠BAD=32°.错因分析错解:中,误认为∠BAD是弦切角,其实不然,虽然AD⊥AC,但AD不是切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.反思在利用弦切角定理解决问题时,要考虑所涉及的角是不是弦切角,即弦切角的三个条件缺一不可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()A.105°B.115°C.120°D.125°解析:连接BD,如图.∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.又AB是直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.如图,AB是☉O的弦,CD是经过☉O上的点M的切线.求证:(1)如果AB∥CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB∥CD.证明(1)∵CD切☉O于点M,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A.∴∠A=∠B.∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切☉O于M点,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453.如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明(1)由AC与☉O'相切于点A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.(2)由AD与☉O相切于点A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.结合(1)的结论,可知AC=AE.从而𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐷,即AC·BD=AD·AB.从而𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐵𝐷,即AE·BD=AD·AB.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航𝐴𝐶=𝐵𝐷123454.如图,已知圆上的弧,过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.分析(1)证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB.证明(1)∵𝐴𝐶=𝐵𝐷,∴∠BCD=∠ABC.又EC与圆相切于点C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,∴△BDC∽△ECB.∴𝐵𝐶𝐵𝐸=𝐶𝐷𝐵𝐶,即BC2=BE·CD.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123455.如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D.AD交半圆于点E.求证:CB=CE.分析转化为证明∠CBE=∠CEB.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12345证明(方法一)连接BE,如图.因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,所以∠AEB=90°,即BE⊥AD.又因为AD⊥l,所以BE∥l.所以∠DCE=∠CEB.因为直线l是圆O的切线,所以∠