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-1-1.2圆周角与弦切角-2-1.2.1圆的切线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.2.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证明问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.圆的切线判定定理文字语言经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线,是圆的切线符号语言OA是圆O的半径,直线l⊥OA,且A∈l,则l是圆O的切线图形语言作用证明直线与圆相切ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨在圆的切线判定定理中,要分清定理的题设和结论,强调“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图①、图②中的例子就不能同时满足这两个条件,所以都不是圆的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】如图,AB经过☉O上一点C,且OA=OB,AC=CB.求证:直线AB是☉O的切线.分析转化为证明OC⊥AB即可.证明如图,连接OC.∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又AC=CB,∴OC⊥AB.又OC是☉O的半径,∴直线AB是☉O的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.圆的切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于过切点的半径符号语言直线l与圆O相切于点A,则OA⊥l图形语言作用证明两条直线垂直ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】如图,直线l与☉O相切于点A,B是l上任一点(与A不重合),则△OAB是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:∵l与☉O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°,即△OAB是直角三角形.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.圆的切线的性质定理的推论推论1:从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等.推论2:经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.4.内切圆与旁切圆与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆;与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆.一个三角形有三个旁切圆.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.圆的切线的有关知识剖析(1)切线和圆只有一个公共点;(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;(3)切线垂直于过切点的半径;(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.判定切线的方法剖析判定切线通常有三种方法:(1)定义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)定理法:过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线.“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法;若不能确定已知要证的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不用定义法证明.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型一圆的切线性质的应用【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.求证:DE⊥AC.分析由于DE是☉O的切线,则OD⊥DE,故要证明DE⊥AC,只需要证明OD∥AC即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明连接OD,AD,如图.∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.又OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE切☉O于点D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型二判断或证明圆的切线【例2】如图,AB是☉O的直径,AE平分∠BAF交☉O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是☉O的切线.分析只需证明OE⊥CD即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明如图,连接OE.∵OA=OE,∴∠1=∠2.又AE平分∠BAF,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.∴CD是☉O的切线.反思定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法.这种方法的步骤是:(1)连接圆心和公共点;(2)转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转化为证明直线垂直.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为()A.34B.35C.45D.43解析:由PA为☉O的切线,知OA⊥PA.在Rt△OAP中,答案:C由勾股定理,得OP=𝑂𝐴2+𝐴𝑃2=5.故cos∠APO=𝑃𝐴𝑂𝑃=45.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.如图,CB为☉O的直径,P是CB的延长线上一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析:如图,连接AB.∵∠AOC=120°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB是等边三角形.∴OB=AB.又OB=BP,∴AB=BP.∴∠P=∠BAP.又∠OBA=60°,∴∠P=30°.又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.∴OA⊥AP,则PA与☉O相切.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.解析:如图,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直径AB=8,则OB=OC=4.又BC=4,故△OBC是等边三角形.则F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案:4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.如图,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,且∠AOD=∠APC.求证:AP是☉O的切线.分析转化为证明AP⊥PO即可.证明连接OP.∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°.∴∠ODC+∠COD=90°.∵OD=OP,∴∠ODC=∠OPC.∵∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.∴∠APO=90°,即AP⊥PO.∴AP是☉O的切线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航