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-1-1.1.4锐角三角函数与射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握锐角三角函数的定义.2.掌握正射影(即射影)的概念,会画出点和线段的射影.3.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.锐角三角函数2.射影从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.sinα=𝛼的对边斜边,cosα=𝛼的邻边斜边,tanα=𝛼的对边𝛼的邻边.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是()A.点B.线段C.与MN等长的线段D.直线解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.射影定理文字语言在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项符号语言在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则AC2=AD·AB;BC2=BD·BA;CD2=BD·AD图形语言作用确定成比例的线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨(1)勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.(2)面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐶𝐵𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐶2𝐵𝐶2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】如图所示,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且CD=4,则AD·DB等于()A.16B.4C.2D.不确定解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AD·DB=CD2.又CD=4,∴AD·DB=42=16.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-2】如图所示,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影为D,且AC=3,AD=2,则AB=.解析:∵AC⊥CB,又D是C在AB上的正射影,∴CD⊥AB.∴AC2=AD·AB.又AC=3,AD=2,∴AB=𝐴𝐶2𝐴𝐷=92.答案:92ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航用射影定理证明勾股定理剖析如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即AC2+BC2=AB2.由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简捷明快,比用面积法要方便得多.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型一与射影定理有关的计算问题【例1】已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.分析先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.∴DB=AB-AD=25-16=9.∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=20225=16.∴CD=𝐴𝐷·𝐷𝐵=16×9=12.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二反思1.本题也可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来综合求解.如本题中,直角三角形中的六条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型二与射影定理有关的证明问题【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.分析先由射影定理得AC2=CD·BC,即𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐶,再由EF∥AD得𝐴𝐸𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶,最后利用EF=AE进行代换,即可得证.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明∵∠BAC=90°,AD⊥BC,由射影定理,知AC2=CD·BC,即𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐶.∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,∴AE=EF.∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.∴𝐴𝐸𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶.∴𝐸𝐹𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶.∴𝐸𝐹𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶,即EF∶DF=BC∶AC.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二反思利用射影定理证明比例式成立的问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应先弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,NQ=3,则MN等于()A.3PNB.13PNC.3𝑃𝑁D.9PN解析:∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又NQ=3,答案:C∴MN=𝑁𝑄·𝑃𝑁=3𝑃𝑁.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若𝐴𝐶𝐴𝐵=34,则𝐵𝐷𝐶𝐷等于()A.34B.43C.169D.916解析:如图,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,答案:C∴𝐴𝐶2𝐴𝐵2=𝐶𝐷𝐵𝐷=342,即𝐶𝐷𝐵𝐷=916.∴𝐵𝐷𝐶𝐷=169.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453.已知PA是☉O的切线,切点为A,PA=2cm,AC是☉O的直径,PC交☉O于点B,AB=cm,则△ABC的面积为cm2.解析:如图,由于PA是☉O的切线,AC是☉O的直径,则PA⊥AC,AB⊥BC,又AB2=PB·BC,所以()2=1×BC.所以BC=3(cm).所以△ABC的面积为3则PB=𝑃𝐴2-𝐴𝐵2=1(cm).312AB×BC=12×3×3=332(cm2).答案:332ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123454.如图,已知AD是△ABC的高,DP⊥AB,DQ⊥AC,垂足分别为P,Q.求证:AP·AB=AQ·AC.分析转化为证明AP·AB=AD2,AQ·AC=AD2.证明∵DP⊥AB,DQ⊥AC,AD⊥BC,∴在Rt△ADB中,有AD2=AP·AB.在Rt△ADC中,有AD2=AQ·AC.∴AP·AB=AQ·AC.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123455.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE·BF·AB=CD3.分析分别在Rt△ABC,Rt△ADC,Rt△BDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12345证明因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,所以CD2=AD·BD.所以CD4=AD2·BD2.又因为在Rt△ADC中,DE⊥AC,在Rt△BDC中,DF⊥BC,所以AD2=AE·AC,BD2=BF·BC.所以CD4=AE·BF·AC·BC.又因为∠A=∠A,∠ACD=∠ABC,即AC·BC=AB·CD.所以CD4=AE·BF·AB·CD.所以AE·BF·AB=CD3.所以△ABC∽△ACD.所以𝐵𝐶𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航