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-1-1.1.3平行截割定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握平行截割定理及其推论.2.能利用平行截割定理及其推论解决有关问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.平行截割定理文字语言三条平行线截任两条直线,所截出的对应线段成比例符号语言a∥b∥c,直线m分别与a,b,c相交于点A,B,C,直线n分别与a,b,c相交于点D,E,F,则ABBC=DEEF图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨1.定理的条件是a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条数还可以更多.3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,截得的线段相等.2.定理的结论还有𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐷𝐹,𝐶𝐵𝐶𝐴=𝐹𝐸𝐹𝐷等.可以归纳为上全=上全,下全=下全等,便于记忆.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】如图,a∥b∥c,AB=2,BC=3,则𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1等于()A.32B.23C.25D.35解析:∵a∥b∥c,∴𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1=𝐴𝐵𝐵𝐶=23.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例符号语言直线DE分别与△ABC的两边AB,AC所在直线交于点D,E,且DE∥BC,则ADDB=AEEC图形语言作用证明三角形中的线段成比例ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,BD=1,则𝐴𝐸𝐴𝐶等于()A.1B.3C.43D.34解析:∵DE∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐵𝐷=33+1=34.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-2】如图,AB∥CD,AC,BD相交于点O,BO=7,DO=3,AC=25,则AO的长为()A.10B.12.5C.15D.17.5解析:∵AB∥CD,∴𝐴𝑂𝑂𝐶=𝐵𝑂𝑂𝐷=73.∴𝐴𝑂𝐴𝐶=710.∴AO=710AC=710×25=17.5.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航剖析(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.(2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(3)比例的有关概念:已知四条线段a,b,c,d,如果𝑎𝑏=𝑐𝑑或a∶b=c∶d,那么线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.如果𝑎𝑏=𝑏𝑐或b2=ac,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(4)比例的性质:①基本性质:a∶b=c∶d⇔ad=bc.②合比性质:如果𝑎𝑏=𝑐𝑑,那么𝑎+𝑏𝑏=𝑐+𝑑𝑑.③等比性质:如果𝑎𝑏=𝑐𝑑=…=𝑚𝑛(b+d+…+n≠0),那么𝑎+𝑐+…+𝑚𝑏+𝑑+…+𝑛=𝑎𝑏.(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,a∶b与b∶a通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段a,b,c,d成比例,与线段a,c,b,d成比例不同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一证明线段成比例【例1】如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使AE=AF.求证:𝐸𝑃𝐹𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵.分析在这道题目中所证的比例组合没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.∵AE=AF,∴AM=AC.∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.延长AD到点G,使DG=AD,连接BG,CG,则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.∵CM∥EF,∴𝐸𝑃𝑀𝑁=𝐹𝑃𝐶𝑁=𝐴𝑃𝐴𝑁.∴𝐸𝑃𝐹𝑃=𝑀𝑁𝐶𝑁.又AB∥GC,AM=AC,GC=AB,∴𝑀𝑁𝐶𝑁=𝐴𝑀𝐺𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵.∴𝐸𝑃𝐹𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.2.利用平行线来转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二证明线段相等【例2】如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,𝐷𝐸𝐴𝐸=12,连接BE并延长,交AC于点F.求证:AF=CF.分析切入点是条件𝐷𝐸𝐴𝐸=12,通过作平行线,证明𝑥𝐴𝐹=𝑥𝐹𝐶,其中x是某条线段.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明过点D作DH∥AC,交BF于点H,如图.∵D是BC的中点,∴𝐷𝐻𝐶𝐹=𝐵𝐷𝐵𝐶=12.∵𝐷𝐸𝐴𝐸=12,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐷𝐻𝐶𝐹.又DH∥AF,∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐸𝐴𝐸=12.∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐻𝐶𝐹.∴AF=CF.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三证明线段倒数和的等式【例3】如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,连接AD,BC交于点E,EF⊥BD于点F.求证:1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹.分析转化为证明𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=1.由AB∥EF∥CD,将𝐸𝐹𝐴𝐵与𝐸𝐹𝐶𝐷化归为同一直线BD上的线段比就可证得.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,∴AB∥EF∥CD.∴𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐵𝐷,𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐵𝐹𝐵𝐷.∴𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐷𝐹𝐵𝐷+𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐷𝐹+𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐷𝐵𝐷=1.∴1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹.反思证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式,再化归为同一直线上的线段比.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型四计算线段长度的比值【例4】如图,M是▱ABCD的边AB的中点,直线l过M分别交AD,AC于点E,F,交CB的延长线于点N,若AE=2,AD=6,求AF∶AC的值.分析AD∥BC,AM=MB⇒AE=BN⇒AF∶AC的值ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:∵AD∥BC,∴𝐴𝐹𝐹𝐶=𝐴𝐸𝑁𝐶.∴𝐴𝐹𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐸+𝑁𝐶,即𝐴𝐹𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐸+𝑁𝐶.∵𝐴𝐸𝐵𝑁=𝐴𝑀𝑀𝐵=1,∴AE=BN.∴𝐴𝐹𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐸+𝐵𝑁+𝐵𝐶=𝐴𝐸2𝐴𝐸+𝐵𝐶.∵AE=2,BC=AD=6,∴𝐴𝐹𝐴𝐶=22×2+6=15,即AF∶AC=1∶5.反思运用平行截割定理及其推论来计算比值,应分清相关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.如图,在四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,则𝐸𝐹𝐵𝐶+𝐹𝐺𝐴𝐷=.解析:∵EF∥BC,∴𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐶.∵FG∥AD,∴𝐹𝐺𝐴𝐷=𝐶𝐹𝐶𝐴.∴𝐸𝐹𝐵𝐶+𝐹𝐺𝐴𝐷=𝐴𝐹𝐴𝐶+𝐶𝐹𝐶𝐴=𝐴𝐹+𝐹𝐶𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐶=1.答案:1ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,且EF∥AD,若𝐴𝐸𝐸𝐵=34,则EF的长为.解析:如图,连接AC交EF于点G,由于EF∥AD,AD∥BC,则EG∥BC,所以𝐸𝐺𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵.又𝐴𝐸𝐸𝐵=34,则𝐴𝐸𝐴𝐵=37,又BC=5,则EG=𝐴𝐸𝐴𝐵·BC=157;同理可得GF=87,所以EF=EG+GF=237.答案:237ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLI