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-1-第一章相似三角形定理与圆幂定理-2-1.1相似三角形-3-1.1.1相似三角形判定定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解相似三角形的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法.2.会证明三角形相似,并能解决有关问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.相似三角形(1)定义:如果在两个三角形中,对应角相等,对应边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).(2)记法:两个三角形相似,用符号“∽”表示,例如△ABC与△A'B'C'相似,记作△ABC∽△A'B'C'.归纳总结1.三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一定相似,但相似三角形不一定全等.2.相似三角形定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例.3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与全等三角形是一致的.例如△ABC和△DEF相似,若点A与点E对应,点B与点F对应,点C与点D对应,则记为△ABC∽△EFD.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】已知△ABC∽△A'B'C',下列选项中的式子,不一定成立的是()A.∠B=∠B'B.∠A=∠C'解析:很明显选项A,C,D均成立.因为∠A和∠C'不是对应角,所以∠A=∠C'不一定成立.答案:BC.𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶'D.𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐴𝐶𝐴'𝐶'ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.相似三角形判定定理定理内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2三边对应成比例的两个三角形相似判定定理3两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似知识拓展判定三角形相似的三种基本图形(1)平行线型:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)交错型:(3)旋转型:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-1】如图,在△ABC中,FD∥GE∥BC,则与△AFD相似的三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵FD∥GE∥BC,∴△AFD∽△AGE∽△ABC.故与△AFD相似的三角形有2个.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航解:析:△ABC与△AED有一个公共角∠A,当夹角A的两边对应成比例,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐷时,这两个三角形相似.答案:𝐴𝐸𝐴𝐷【做一做2-2】如图,DE与BC不平行,当𝐴𝐵𝐴𝐶=_______时,△ABC∽△AED.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.直角三角形相似的判定方法(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.名师点拨直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别与原三角形相似.在证明直角三角形相似时,要特别注意利用“直角”这一条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做3】在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A'=90°,𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∠B=35°,则∠C'=.解析:∵∠A=∠A'=90°,∴△ABC和△A'B'C'均是直角三角形.∴∠C'=∠C.又∠B=35°,∴∠C=90°-∠B=90°-35°=55°.∴∠C'=55°.答案:55°又𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∴△ABC∽△A'B'C'.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航同一法证明几何问题剖析当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时,往往先作出一个满足命题结论的图形,再证明图形符合命题的已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.例如,如图,已知PQ,TR为☉O的切线,P,R为切点,PQ∥RT.证明PR为☉O的直径.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航证明如图,延长PO交RT于点R',∵PO⊥PQ,∴PR'⊥PQ.∵PQ∥RT,∴PR'⊥RT,即OR'⊥RT.又TR为☉O的切线,R为切点,∴OR⊥RT.∴点R'与点R重合.∴PR为☉O的直径.由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤:(1)先作出一个符合结论的图形,再推证出所作的图形符合已知条件;(2)根据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3)说明已知图形符合结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一判定三角形相似【例1】如图,已知𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐸.求证:△ABD∽△ACE.分析由已知𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸,得𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐸,则要证明△ABD∽△ACE,只需证明∠DAB=∠EAC即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明因为𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐸,所以△ABC∽△ADE.所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠DAB=∠EAC.又𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐸,所以△ABD∽△ACE.反思判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,还缺少什么条件就应寻找相应的条件来推导出结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二判定直角三角形相似【例2】如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.分析由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明𝐴𝐷𝑄𝐶=𝐷𝑄𝐶𝑃即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴𝐴𝐷𝑄𝐶=2.∵BP=3PC,∴𝐵𝐶𝑃𝐶=4.又BC=2DQ,∴𝐷𝑄𝐶𝑃=2.在△ADQ和△QCP中,𝐴𝐷𝑄𝐶=𝐷𝑄𝐶𝑃=2,∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP.反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似的判定方法判定,又有其独特的判定方法,在求证、识别的过程中,可由已知条件结合图形特征,确定合适的方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三证明线段成比例【例3】如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐶.分析所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在△ABC和△BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样AB,AC,BD,BC分别在△ABC和△ABD中,只需证明这两个三角形相似即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠DBA=12∠ABC.又∠ABC=2∠C,∴∠DBA=∠DBC=∠C.∴BD=CD.在△ABD和△ACB中,∠A=∠A,∠DBA=∠C,∴△ABD∽△ACB.∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐶.∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐶.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思证明线段成比例,常把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中把CD转化为BD.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.如图,在△ABC中,DE∥BC,F是BC上一点,AF交DE于点G,则与△ADG相似的是()A.△AEGB.△ABFC.△AFCD.△ABC解析:在△ABF中,DG∥BF,则△ADG∽△ABF.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点D,DE⊥AB,垂足为点E,则图中与Rt△ADE相似的三角形个数为()A.1B.2C.3D.4解析:题图中Rt△CBA,Rt△CAD,Rt△ABD,Rt△DBE均与Rt△ADE相似,故有4个.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.如图,∠BAC=∠DCB,∠CDB=∠ABC=90°,AC=a,BC=b,则BD=(用a,b表示).解析:由题意,可得△ABC∽△CDB,∴𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐵𝐶𝐵𝐷.∴BD=𝐵𝐶2𝐴𝐶=𝑏2𝑎.答案:𝑏2𝑎ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.如图,已知