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-1-本章整合知识建构真题放送综合应用正弦定理定理内容:𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶变形形式:𝑎∶𝑏∶𝑐=sin𝐴∶sin𝐵∶sin𝐶;𝑎=2𝑅sin𝐴;sin𝐴=𝑎2𝑅等面积公式:𝑆=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12𝑏𝑐sin𝐴应用范围已知两角和一边,求其他的边和角已知两边及一边对角,求其他的边和角余弦定理定理内容:𝑎2=𝑏2+𝑐2-2𝑏𝑐cos𝐴,𝑏2=𝑎2+𝑐2-2𝑎𝑐cos𝐵,𝑐2=𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏cos𝐶变形形式:cos𝐴=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐,cos𝐵=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,cos𝐶=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏应用范围已知三边,求三个角已知两边和夹角,求其他的边和角应用举例:从实际问题中抽象概括出数学模型,然后求解,常利用正弦定理、余弦定理处理距离问题、高度问题、角度问题、几何计算等知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五判断三角形的形状特征,不仅要深入研究三角形边与边的大小关系,还要研究角与角的大小关系.解决这类问题的常用方法是:将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断.通常利用正弦定理的变形如a=2R·sinA将边化为角的正弦,利用余弦定理的推论如cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐把角的余弦化为边,或利用sinA=𝑎2𝑅把角的正弦化为边,然后利用三角形的有关知识,三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简,从而得出结论.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则该三角形是三角形.提示:考虑到已知条件是三个角正弦的比值,可用正弦定理得出三边的关系,再利用余弦定理判断最大角的大小即可.解析:因为sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,根据正弦定理,得a∶b∶c=2∶3∶4.设a=2m,b=3m,c=4m(m0),因为cba,所以∠C∠B∠A.所以cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=4𝑚2+9𝑚2-16𝑚22×2𝑚×3𝑚=-140.所以∠C是钝角.所以△ABC是钝角三角形.答案:钝角知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.提示:已知条件中等式只有边,故结合其特点,可选择利用正弦定理化边为角,再结合三角函数关系化简求解;本题也可利用∠B=60°这一条件,用余弦定理找出边之间的关系来判断.解:方法一:由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因为∠B=60°,所以∠A+∠C=120°.所以∠A=120°-∠C,代入上式,得2sin60°=sin(120°-∠C)+sinC,展开,整理得32sinC+12cosC=1.所以sin(∠C+30°)=1.所以∠C+30°=90°.所以∠C=60°.所以∠A=60°.故△ABC为等边三角形.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB.因为∠B=60°,b=𝑎+𝑐2,所以𝑎+𝑐22=a2+c2-2accos60°.整理,得(a-c)2=0,所以a=c.从而a=b=c.所以△ABC为等边三角形.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题二解三角形在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当地选取定理,简化运算过程,提高解题速度,同时,要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来,挖掘题目中的隐含条件.解题时,要综合、灵活地运用两个定理,认真分析已知条件,选择需要先(后)解的三角形和相关定理,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等.注意数形结合,正确地求解三角形,防止出现漏解或增解的情况.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠B=45°,b=10,cosC=255.(1)求边长a;(2)设AB中点为D,求中线CD的长.提示:(1)由cosC求sinC,再利用两角和的正弦公式求sinA,然后利用正弦定理求出边长a;(2)在△ABC中利用余弦定理求边AB的长,然后在△BCD中求出边CD的长.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)由cosC=255,得sinC=1-cos2𝐶=1-2552=55,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=22×255+22×55=31010,由正弦定理,得a=𝑏sin𝐴sin𝐵=10×3101022=32.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(2)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=b2+a2-2abcosC=10+18-2×10×32×255=4.所以AB=2,BD=1.在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcosB=18+12-2×32×1×22=13.故CD=13.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起,是高考中的常见题型.常用三角形面积公式:(1)S△ABC=12aha=12bhb=12chc.(2)S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.(3)S=𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐)其中𝑝=𝑎+𝑏+𝑐2.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求∠A;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时∠B的值.提示:(1)利用余弦定理求∠A;(2)利用正弦定理及面积公式将面积S表示出来,再用三角变换的知识求出最值.33知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)由余弦定理得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-3𝑏𝑐2𝑏𝑐=-32.又0∠Aπ,所以∠A=5π6.(2)由(1)得sinA=12,又由正弦定理及a=3得S=12bcsinA=12·𝑎sin𝐵sin𝐴·asinC=3sinBsinC,因此,S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).所以,当∠B=∠C,即∠B=π-∠𝐴2=π12时,S+3cosBcosC取最大值3.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化解题的目的.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(1)求cosB的值;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.提示:(1)先利用正弦定理化简,再用三角变换整理即得.(2)利用余弦定理及面积公式,再注意整体求ac的技巧.7cos𝐶cos𝐵=2𝑎-𝑐𝑏.解:(1)由cos𝐶cos𝐵=2𝑎-𝑐𝑏=2sin𝐴-sin𝐶sin𝐵,得cosC·sinB=2sinA·cosB-cosB·sinC.∴2sinA·cosB=sinB·cosC+cosB·sinC=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.∵sinA≠0,∴cosB=.(2)∵b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=7,又a+c=4,∴(a+c)2-3ac=7.∴ac=3.∴S△ABC=12acsinB=12×3×32=334.12知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,c=2,∠C=,求△ABC的面积.提示:先利用向量的坐标运算将条件转化为边角关系,再由正弦定理或余弦定理求解.π3知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,∴a·𝑎2𝑅=b·𝑏2𝑅,其中R是△ABC的外接圆的半径,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由题意m⊥p,得m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1不合题意,舍去),∴S=12absinC=12×4×sinπ3=3.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时,首先要认真分析题意,找出各量之间的关系,根据题意画出示意图,将要求的问题抽象为三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,最后将结果还原为实际问题,这一程序可用框图表示为:实际问题解三角形问题三角形问题的解实际问题的解知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.提示:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可.根据已知条件,可以计算出BC的长.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:在△ABC中,∠BAC=15°,∠ACB=25°-15°=10°.根据正弦定理,得BC=𝐴𝐵sin∠𝐵𝐴𝐶sin∠𝐴𝐶𝐵=5sin15°sin10°≈7.4524(km),CD=BCtan∠DBC=BCtan8°≈1.047(km).答:山的高度约为1.047km.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才能追赶上该走私船?提示:在求解三角形中,可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x海里,AB=14x海里,AC=9海里,∠ACB=75°+45°=120°,所以(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简,得32x2-30x-27=0.解得x=32或x=-916(舍去).所以BC=15,AB=21.又因为sin∠BAC=𝐵𝐶sin120°𝐴𝐵=1521×32=5314,所以∠BAC=38°13'或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追,经过1.5小时才能追赶上该走私船.真题放送综合应用知识建构1234567891(江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为()2sin2𝐵-sin2𝐴sin2𝐴A.-19B.13C.1D.72解析:∵3a=2b,∴由正弦定理,得𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵=23.∴sin2𝐴sin2𝐵=49.∴2sin2𝐵-sin2𝐴sin2𝐴=2×sin2𝐵sin