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-1-1.2应用举例目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.2.会建立实际应用题的三角形模型,画出示意图.3.能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.实际应用问题中的有关术语(1)铅直平面:与水平面垂直的平面.(2)仰角和俯角:在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图①所示.(3)方位角:从某点的指北方向线起,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图②所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航(3)方位角:从某点的指北方向线起,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图②所示.(4)坡角与坡度:坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫做坡度(或坡比).设坡角为α,坡度为i,则i==tanα,如图③所示.ℎ𝑙ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1】已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等,灯塔A在观测站C的北偏东40°,灯塔B在观测站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东40°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析:如图所示,∠ECA=40°,∠FCB=60°,∴∠ACB=180°-40°-60°=80°.∵AC=BC,∴∠A=∠ABC=180°-80°2=50°.∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.三角形中的有关公式和结论(1)直角三角形中各元素间的关系.在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;②三边之间的关系:a2+b2=c2;③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)sinA=cosB=𝑎𝑐,cosA=sinB=𝑏𝑐,tanA=𝑎𝑏.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航(2)斜三角形中各元素间的关系.在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A,∠B,∠C的对边,则有:①角与角之间的关系:∠A+∠B+∠C=π;sinAsinB⇔∠A∠B,特别地,在锐角三角形中,sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA;②边与边之间的关系:a+bc,b+ca,c+ab,a-bc,b-ca,c-ab;③边角之间的关系:余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA;正弦定理:𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(R为△ABC的外接圆的半径);它们的变形形式有:a=2RsinA,sin𝐴sin𝐵=𝑎𝑏,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航(3)三角形中的角的变换及面积公式.①角的变换.因为在△ABC中,∠A+∠B+∠C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.sin𝐴+𝐵2=cos𝐶2,cos𝐴+𝐵2=sin𝐶2.②面积公式的有关变换.S=12absinC=12acsinB=12bcsinA=𝑎𝑏𝑐4𝑅(R为△ABC的外接圆的半径);S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-1】已知一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成30°角,树干底部与树尖着地处相距10m,则树干原来的高度是()A.(20+103)mB.(10+203)mC.(20+203)mD.(10+103)m解析:如图所示,BC=10m,所以AB=𝐵𝐶tan30°=103m,AC=𝐵𝐶sin30°=20m.所以树干原来的高度为AB+AC=(20+103)m.答案:A【做一做2-2】已知在△ABC中,ab=10,S△ABC=532,△ABC的外接圆的半径为3,则边c的长为.答案:3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-3】在△ABC中,∠A=120°,AB=5,BC=7,则的值为.解析:由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,即72=52+AC2-2×5×ACcos120°,所以AC2+5AC-24=0.解得AC=3,AC=-8(舍去).sin𝐶sin𝐵由正弦定理,得sin𝐶sin𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐶=53.答案:53ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.解应用题的一般思路(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中,将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中单位、近似计算的要求.这一思路描述如下:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3-1】如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,测量时应当用第组数据.①α,a,b;②α,β,a;③a,b,γ;④α,β,b.解析:根据实际情况α,β都是不易测量的数据,而③中的a,b,γ很容易测量,并且根据余弦定理能直接求出AB的长,故选③.答案:③ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3-2】在200m的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为m.解析:如图,在Rt△CDB中,CD=200m,∠BCD=90°-60°=30°,所以BC=200cos30°=40033(m).在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,所以∠BAC=120°.在△ABC中,由正弦定理,得𝐵𝐶sin120°=𝐴𝐵sin30°,所以AB=𝐵𝐶sin30°sin120°=4003(m).答案:4003ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航实际问题中度量A,B两点的长度(高度)的方法剖析:(1)求距离问题.如图,当AB的长度不可直接测量时,求AB的距离.两点间不可达又不可视两点间可视但有一点不可达两点都不可达①当A,B两点之间不可达又不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解,则AB=𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏cos𝐶.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航②当A,B两点之间可视但有一点不可达时,测出两角及其夹边,先用内角和定理求第三个角,再运用正弦定理求解.∵∠A=π-(∠B+∠C),∴根据正弦定理,得𝐴𝐵sin𝐶=𝐵𝐶sin𝐴=𝐵𝐶sin[π-(𝐵+𝐶)]=𝐵𝐶sin(𝐵+𝐶)=𝑎sin(𝐵+𝐶),则AB=𝑎sin𝐶sin(𝐵+𝐶).③当A,B两点都不可达时,先在△ADC和△BDC中分别求出AC,BC或AD,BD,再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解.先在△ADC中求:AD=𝑎sin(∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐶𝐷)×sin∠ACD;再在△BDC中求:BD=𝑎sin(∠𝐵𝐷𝐶+∠𝐵𝐶𝐷)×sin∠BCD;最后在△ABD中求:AB=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2-2𝐴𝐷·𝐵𝐷cos∠𝐴𝐷𝐵.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航名师点拨将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时,我们选择的三角形往往条件不够,这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持,为解这个三角形提供必要的条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航(2)求高度问题.如图,当AB的高度不可直接测量时,求AB的高度,有如下情况.底部可达底部不可达①当BC底部可达时,利用直角三角形的边角关系求解,则AB=atanC.②当BD不可达时,在Rt△ABD中,BD=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐷𝐵,在Rt△ABC中,BC=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐶𝐵,∴a=CD=BC-BD=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐶𝐵−𝐴𝐵tan∠𝐴𝐷𝐵.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航∴a=CD=BC-BD=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐶𝐵−𝐴𝐵tan∠𝐴𝐷𝐵.∴AB=𝑎1tan∠𝐴𝐶𝐵-1tan∠𝐴𝐷𝐵.③当BC,BD都不可达时,在△BCD中,BC=𝑎sin(∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷)×sinD.∵AB⊥BC,∴∠BAC=π2-∠ACB.∴在△ABC中,AB=𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶×sin∠ACB=𝐵𝐶cos∠𝐴𝐶𝐵×sin∠ACB.∴AB=𝑎sin(∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷)×sin𝐷cos∠𝐴𝐶𝐵×sin∠ACB=𝑎sin𝐷tan∠𝐴𝐶𝐵sin(∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷).名师点拨在测量某物体高度的问题中,很多被测量的物体是一个立体的图形,而在测量过程中,我们测量的角度也不一定在同一平面内,因此还需要我们有一定的空间想象能力,关键是画出图形,把已知量和未知量归结到三角形中来求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五测量距离问题【例1】如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=1