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-1-第一章解三角形-2-1.1正弦定理和余弦定理-3-1.1.1正弦定理目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程.2.掌握正弦定理,并初步学会用正弦定理解决简单的三角形度量问题.3.依据正弦定理判断三角形的形状.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.正弦定理文字语言在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等符号语言a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C名师点拨1.从方程的观点看,正弦定理有三个等式,可视为三个方程,每个方程含有四个量,可知三求一.2.适用范围:对任意的三角形都成立.3.结构形式:分子为边长、分母为该边所对角的正弦的连等式.4.在同一三角形中边角的不等关系:若∠A∠B∠C,可得abc,则sinAsinBsinC;反之,若sinAsinBsinC,可得abc,则∠A∠B∠C.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1-1】在△ABC中,一定成立的等式有()A.asinA=bsinBB.asinB=bsinAC.acosA=bcosBD.acosB=bcosA答案:B【做一做1-2】在△ABC中,已知AC=2,BC=3,sinA=,则sinB=()35解析:由正弦定理,得𝐴𝐶sin𝐵=𝐵𝐶sin𝐴,即2sin𝐵=335,解得sinB=25.A.25B.23C.35D.无法确定答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.正弦定理的适用范围利用正弦定理,可解决两类解三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求其他的边和角;(2)已知两边和其中一边的对角,首先求另一边的对角,然后求出其他的边和角.【做一做2】在△ABC中,已知a=,b=4,∠A=30°,则∠B=.解析:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=4×12433=32.433由ba,得∠B=60°或∠B=120°.答案:60°或120°ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.解三角形解三角形是指由三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二一、判断三角形解的个数剖析:(1)代数法在△ABC中,已知a,b,∠A,由正弦定理可得sinB=sinA=m.①当m1时,这样的∠B不存在,即三角形无解.②当m=1时,∠B=90°,若∠A90°,则三角形有一解,否则无解.③当m1时,满足sinB=m的角有两个,其中设锐角为α,钝角为β,则当∠A+α≥180°时,三角形无解;当∠A+α180°,且∠A+β180°时,有两解;当∠A+α180°,且∠A+β≥180°时,有一解.𝑏𝑎ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二(2)几何法根据条件中∠A的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况.作出已知∠A,以点A为圆心,边长b为半径画弧交∠A的一边于点C.使未知的边AB水平,顶点C在边AB上方,以点C为圆心,边长a为半径作圆,该圆与射线AB交点的个数,即为解的个数,如表所示:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二∠A为锐角∠A为钝角或直角图形①a=b𝑠𝑖𝑛A②a≥bbsinAababsinAaba≤b一解两解无解一解无解ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中,设.请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系.(提示:先考察直角三角形)𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=k剖析:(1)如图①,当△ABC为直角三角形时,直接得到𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆的半径).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二(2)如图②,当△ABC为锐角三角形时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD.因为∠A=∠D,所以𝑎sin𝐴=𝑎sin𝐷=2R,同理𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R,即𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R.(3)如图③,当△ABC为钝角三角形,且∠A为钝角时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,∠A=180°-∠D,所以𝑎sin𝐴=𝑎sin(180°-∠𝐷)=𝑎sin𝐷=2R.由(2)知𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R,即𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R.综上所述,对于任意△ABC,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R恒成立.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二归纳总结根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式:(1)asinB=bsinA;asinC=csinA;bsinC=csinB.(2)a=𝑏sin𝐴sin𝐵;sinB=𝑏sin𝐴𝑎.(3)𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=𝑎+𝑏+𝑐sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶=2R(R为△ABC外接圆的半径)(4)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(5)边化角公式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(6)角化边公式:sinA=𝑎2𝑅,sinB=𝑏2𝑅,sinC=𝑐2𝑅.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解三角形【例1】已知在△ABC中,c=10,∠A=45°,∠C=30°,求a,b和∠B.分析:当知道两个角时,即可知道第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形.解:∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,∠A=45°,∠C=30°,c=10,∴a=𝑐sin𝐴sin𝐶=10×sin45°sin30°=102,∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°.又𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,∴b=𝑐·sin𝐵sin𝐶=10×sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=5(6+2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知在△ABC中,a=10,∠B=60°,∠C=45°,则c等于()A.10+3B.10(3-1)C.3+1D.103解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°.由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,得c=𝑎sin𝐶sin𝐴=10sin45°sin75°=10(3-1).答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解,但应注意解的个数.【例2】在△ABC中,已知a=,b=,∠B=45°,求∠A,∠C和c.23ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,知sinA=𝑎sin𝐵𝑏=32.因为asinBba,所以∠A有两个解,所以∠A=60°或∠A=120°.(1)当∠A=60°时,∠C=180°-∠A-∠B=75°,所以c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin75°sin45°=6+22.(2)当∠A=120°时,∠C=180°-∠A-∠B=15°,所以c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin15°sin45°=6-22.故∠A=60°,∠C=75°,c=6+22或∠A=120°,∠C=15°,c=6-22.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的角和边的方法步骤:先由正弦定理求得已知边的对角,再利用内角和公式求得第三角,最后求得第三边.解答此类问题应注意对解的个数的讨论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是()A.a=8,b=16,∠A=30°,有两解B.a=18,b=20,∠A=60°,有一解C.a=5,b=2,∠A=90°,无解D.a=30,b=25,∠A=150°,有一解解析:A中,a=bsinA,故有一解;B中,bsinA=20·sin60°=10a,故有两解;C中,∠A为直角,且ab,故有一解;D中,ab,∠A为钝角,故有一解.因此正确答案为D.答案:D3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且,试判断△ABC的形状.𝑎cos𝐴=𝑏cos𝐵=𝑐cos𝐶分析:将式中的a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC(R为△ABC外接圆半径)来代替是解决本题的关键.解:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(R为△ABC外接圆的半径),得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入𝑎cos𝐴=𝑏cos𝐵=𝑐cos𝐶中,可得2𝑅sin𝐴cos𝐴=2𝑅sin𝐵cos𝐵=2𝑅sin𝐶cos𝐶,所以tanA=tanB=tanC.又因为∠A,∠B,∠C是△ABC的内角,所以∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三反思已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两种思路:其一,先化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系;其二,先化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目