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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一逻辑联结词(且、或、非)应用已知命题p:2∈{2,3,4},q:{矩形}∩{菱形}={正方形}.写出命题“p∨q”“p∧q”“p”,并判断其真假.提示:用“且”“或”“非”把命题联结起来写出新命题;先判断每个命题的真假,然后利用表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ判断由“且”“或”“非”联结成的新命题的真假.解:p∨q:2∈{2,3,4}∨{矩形}∩{菱形}={正方形};p∧q:2∈{2,3,4}∧{矩形}∩{菱形}={正方形};p:2∉{2,3,4},由已知得命题p,q都是真命题,故p∨q,p∧q都是真命题,p是假命题.综合应用专题一专题二专题三专题二充分条件、必要条件的判定及其应用判断一个命题是另一个命题的充分条件或必要条件一般用定义法,即分别看“p⇒q”与“q⇒p”是否成立,在判断时,常从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围.应用1指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切;(2)设l,m均为直线,α为平面,其中l不在α内,m⊂α,p:l∥α,q:l∥m.提示:(1)先明确直线与圆相切的几何条件,圆心到直线的距离d=半径r⇔直线与圆相切,然后利用充分条件、必要条件的定义判定;(2)用直线与平面平行的判定定理及充分条件、必要条件的定义进行判定.综合应用专题一专题二专题三解:(1)若a+b=2,则圆心(a,b)到直线x+y=0的距离d=|𝑎+𝑏|2=2=𝑟,所以直线与圆相切;反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2.所以a+b=2或a+b=-2.故p是q的充分不必要条件.(2)因为l∥α不能推出l∥m,但l∥m⇒l∥α,所以p是q的必要不充分条件.综合应用专题一专题二专题三应用2已知命题p:1-𝑥-13≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.提示:化简命题p,q中x的范围,实行等价转化:p是q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件,然后列出关于m的不等式组求解.解:当命题p为真时,由1-𝑥-13≤2得-2≤x≤10,命题q为真时,由x2-2x+1-m2≤0(m0)得1-m≤x≤1+m(m0).因为p是q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件,所以1-𝑚≤-2,1+𝑚≥10,且两等号不能同时成立,解得m≥9,所以m的取值范围为[9,+∞).综合应用专题一专题二专题三专题三四种命题及其关系1.原命题与其逆否命题等价,原命题的逆命题与原命题的否命题等价,即互为逆否命题的两个命题等价(同真或同假).2.互为逆命题或互为否命题的两个命题不等价.综合应用专题一专题二专题三应用命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.提示:先根据定义写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,再利用一元二次不等式的解集与判别式之间的关系判断命题的真假.解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集为空集,则a2-4b0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集为空集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.真题放送12341.(福建高考)下列命题中,真命题是()A.∃x0∈R,e𝑥0≤0B.∀x∈R,2xx2C.a+b=0的充要条件是𝑎𝑏=−1D.a1,b1是ab1的充分条件解析:∵a10,b10,∴ab1,即a1,b1⇒ab1.答案:D真题放送12342.(重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.答案:D真题放送12343.(全国高考)下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是()A.ab+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析:A选项中ab+1b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以“ab+1”为“ab”成立的充分而不必要条件.答案:A真题放送12344.(安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数解析:全称命题的否定:所有变为存在,且否定结论.所以原命题的否定是:存在一个能被2整除的整数不是偶数.答案:D真题放送