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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一逻辑联结词(且、或、非)应用已知命题p:2∈{2,3,4},q:{矩形}∩{菱形}={正方形},写出命题“p∨q”,“p∧q”,“p”,并判断其真假.提示:根据“且”“或”“非”命题的定义写出命题;先判断每个命题的真假,然后利用真值表判断由“且”“或”“非”联结成的新命题的真假.解:p∨q:2∈{2,3,4}∨({矩形}∩{菱形})={正方形};p∧q:2∈{2,3,4}∧({矩形}∩{菱形})={正方形};p:2∉{2,3,4},由已知得命题p,q都是真命题,故p∨q,p∧q都是真命题,p是假命题.综合应用专题一专题二专题三专题二充分条件、必要条件的判定及其应用判断一个命题是另一个命题的充分条件或必要条件一般用定义法,即分别看“p⇒q”与“q⇒p”是否成立,在判断时,常从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围.综合应用专题一专题二专题三应用1指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切;(2)设l,m均为直线,α为平面,其中l不在α内,m⊂α,p:l∥α,q:l∥m.提示:(1)先明确直线与圆相切的几何条件,圆心到直线的距离d=半径r⇔直线与圆相切,然后利用充分条件、必要条件的定义判定;(2)利用直线与平面平行的判定定理及充分条件、必要条件的定义进行判定.解:(1)若a+b=2,则圆心(a,b)到直线x+y=0的距离∴直线与圆相切;反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2,∴a+b=2或a+b=-2,故p是q的充分不必要条件.(2)∵l∥α不能推出l∥m,但l∥m⇒l∥α,∴p是q的必要不充分条件.d=|𝑎+𝑏|2=2=r,综合应用专题1专题2专题3应用2已知命题p:1-𝑥-13≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.提示:化简命题p,q中x的取值范围,实行等价转化:p是q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件,然后列出关于m的不等式组求解.解:命题p真时,由1-𝑥-13≤2得-2≤x≤10,命题q真时,由x2-2x+1-m2≤0(m0)得1-m≤x≤1+m(m0),因为p是q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件,所以1-𝑚≤-2,1+𝑚≥10,两等号不能同时成立,解得m≥9,所以m的取值范围为[9,+∞).综合应用专题1专题2专题3专题三四种命题及其关系1.原命题与其逆否命题等价,原命题的逆命题与原命题的否命题等价,即互为逆否命题的两个命题等价(同真或同假).2.互为逆命题或互为否命题的两个命题不等价.应用已知命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.提示:先根据定义写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,再利用一元二次不等式的解集与判别式之间的关系判断命题的真假.解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则x2+ax+b≤0有非空解集.否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解集为空集,则a2-4b0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则x2+ax+b≤0的解集为空集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.真题放送1(重庆高考)命题“若p,则q”的逆命题是()A.若q,则pB.若p,则qC.若q,则pD.若p,则q答案:A2(安徽高考)命题“存在实数x,使x1”的否定是()A.对任意实数x,都有x1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1解析:该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数x,都有x≤1”.答案:C真题放送3(辽宁高考)已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是()A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)0解析:全称命题的否定为存在性命题,即若p为“∀x∈M,q(x)”,则p为“∃x∈M,q(x)”,故选C.答案:C真题放送4(湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“1𝑎+1𝑏+1𝑐≤a+b+c”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件解析:当abc=1时,1𝑎+1𝑏+1𝑐=𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏𝑎𝑏𝑐=𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏≤𝑏+𝑐2+𝑎+𝑐2+𝑎+𝑏2=a+b+c(当且仅当“a=b=c”时,“=”成立),但反之,则不成立,如a=1,b=2,c=3时,满足1𝑎+1𝑏+1𝑐≤a+b+c,但abc≠1.答案:A真题放送