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-1-1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式-2-1.3.1推出与充分条件、必要条件目标导航1.了解推出的意义.2.理解充分条件和必要条件的意义.3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.知识梳理1.命题的条件和结论“如果p,则(那么)q”形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.【做一做1】指出命题“如果a=-b,则a2=b2”的条件和结论.解:命题的条件是:a=-b,结论是:a2=b2.2.推出符号“⇒”的含义当命题“如果p,则q”是真命题时,就说由p成立可推出q成立.记作p⇒q,读作“p推出q”.【做一做2】用符号“⇒”表示命题:若∠A=60°,解:∠A=60°⇒则sinA=32.sinA=32.知识梳理名师点拨只有当一个命题是真命题时,才能使用符号“⇒”表示.例如:命题“如果两个三角形全等,那么它们的面积相等”,因该命题是真命题,故可用符号“⇒”表示为:两个三角形全等⇒它们的面积相等.命题“如果两个三角形面积相等,那么它们全等”是假命题,故此命题不能用推出符号“⇒”表示.知识拓展(1)符号“”的含义:当命题“如果p,则q”是假命题时,就说由p不能推出q.记作pq,读作“p不能推出q”.(2)推出的传递性:若p⇒q,且q⇒r,则p⇒r.知识梳理3.充分条件、必要条件如果由p可推出q,则称p是q的充分条件或q是p的必要条件.【做一做3】已知r:x=8,s:x7,问r是s的充分条件吗?s是r的必要条件吗?s是r的充分条件吗?解:因为x=8⇒x7,所以r是s的充分条件,s是r的必要条件;又因为x7x=8,所以s不是r的充分条件.4.充要条件一般地,如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q.显然,q也是p的充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.【做一做4】已知p:两直线平行;q:内错角相等.试判断p是q的什么条件?解:因为p⇒q,且q⇒p,所以p是q的充要条件.知识梳理名师点拨对充要条件的判定,首先要分清条件p和结论q,不但要有p⇒q,还要有q⇒p.知识拓展充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不必要条件:如果p⇒q,且qp,则称p是q的充分不必要条件;如果pq,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;如果pq,且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件.重难聚焦1.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结论成立的.例如,说“x8”是“x6”的一个充分条件,就是说“x8”这个条件,足以保证“x6”成立.(2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少.例如,如果x6,那么x可能大于8,也可能不大于8;但如果x不大于6,那么x不可能大于8.因此要使x8必须要有x6这个条件.必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.重难聚焦2.怎样从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件?剖析:首先建立与p,q相对应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分不必要条件若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要不充分条件若A=B,则p,q互为充要条件若A⊈B,B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件典例透析题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件的判断【例1】在下列各题中,试判定p是q的什么条件:(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;(2)p:同位角相等,q:两直线平行;(3)p:x=3,q:x2=9;(4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.分析:(1)利用“两个因式的积等于零⇔两个因式中至少有一个等于零”以及充分条件、必要条件的定义判断.(2)利用平行线的判定定理和性质定理以及充分条件、必要条件的定义判断.(3)利用平方与开平方的意义,通过计算进行判断.(4)利用平行四边形的判定定理和性质定理进行判断.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)因为命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”是假命题,而命题“若x=2,则(x-2)(x-3)=0”是真命题,所以p是q的必要条件,但不是充分条件,即p是q的必要不充分条件;(2)因为命题“若同位角相等,则两直线平行”是真命题,命题“若两直线平行,则同位角相等”也是真命题,所以p是q的充要条件;(3)因为命题“若x=3,则x2=9”是真命题,而命题“若x2=9,则x=3”是假命题,所以p是q的充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件;(4)因为命题“若四边形的对角线相等,则四边形是平行四边形”是假命题,命题“若四边形是平行四边形,则四边形的对角线相等”也是假命题,所以p不是q的充分条件,p也不是q的必要条件,即p是q的既不充分也不必要条件.典例透析题型一题型二题型三题型四反思判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤:①分清条件p和结论q;②判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”的真假;③依据充分条件、必要条件的定义给出结论.典例透析题型一题型二题型三题型四利用充分条件、必要条件求参数的范围【例2】已知p:{x|x2-5x+40},q:{x|1-mx1+m},p是q的必要不充分条件,求m的取值范围.分析:先化简集合,“p是q的必要不充分条件”⇔“q⇒p,且pq”,从而明确两集合之间的关系,再利用数轴分析得到关于m的不等式组,进而求得m的取值范围.典例透析题型一题型二题型三题型四解:设集合A={x|x2-5x+40},B={x|1-mx1+m},则p:A={x|1x4},q:B={x|1-mx1+m},因此p:C={x|x≥4或x≤1},q:D={x|x≥1+m或x≤1-m}.∵p是q的必要不充分条件,∴D⫋C,如图.∴1+𝑚≥4,1-𝑚≤1.两个等号不同时成立,解得m≥3,故m的取值范围为[3,+∞).典例透析题型一题型二题型三题型四反思化简集合,实施等价转化,明确集合之间的关系是解决本题的关键.本题也可将“p是q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”来解决.典例透析题型一题型二题型三题型四求充要条件【例3】求函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方的充要条件.分析:先求“函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方”的必要条件,然后再看该条件能否推出“函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方”,即判断其充分性是否成立.典例透析题型一题型二题型三题型四解:由函数f(x)的图象全在x轴上方可知,若f(x)是常量函数,则𝑎2+4𝑎-5=0,-4(𝑎-1)=0⇒a=1;若f(x)是二次函数,则𝑎2+4𝑎-50,[-4(𝑎-1)]2-12(𝑎2+4𝑎-5)0⇒1a19,故函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方⇒1≤a19.由以上推导过程知:反之,若1≤a19,则函数f(x)的图象在x轴上方,即1≤a19⇒函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方.综上,函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a19.典例透析题型一题型二题型三题型四易错题型【例4】已知命题p:A={x|x2-5x-60},q:B={x|-1x2a},且p是q的充分条件,求a的取值范围.错解:由x2-5x-60,得-1x6.因为p是q的充分条件,故2a6,即a3.所以a的取值范围为a3.错因分析:“p是q的充分条件⇒A⊆B”,而错解用了“p是q的充分条件⇒A⫋B”,导致丢掉等号的错误.正解:由x2-5x-60,得-1x6,因为p是q的充分条件,即A⊆B,所以2a≥6,即a≥3,故a的取值范围为a≥3.典例透析1已知函数f(x)=2x+1,对于任意正数a,|x1-x2|a是|f(x1)-f(x2)|a成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B2已知在△ABC中,p:AB=AC,q:∠C=∠B,则p是q的条件.答案:充要3已知p:x2=1,q:x=1,则p是q的条件.答案:必要不充分4已知p:x(x-3)0,q:|x|2,则p是q的条件.解析:由x(x-3)0,得0x3,由|x|2,得-2x2,因此pq,且qp,故p是q的既不充分也不必要条件.答案:既不充分也不必要典例透析5已知p:{x|x21},q:{x|xa},若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.分析:先化简集合,根据p是q的充分不必要条件得到两个集合之间的关系,然后利用集合关系解决问题.解:设A={x|x21}={x|-1x1},B={x|xa},则p:A={x|-1x1},q:B={x|xa}.∵p是q的充分不必要条件,∴A⫋B,结合数轴分析可得a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].典例透析