2019版高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.1 平行线等分线段定理课件 新人教A版选

-1-第一讲相似三角形的判定及有关性质-2-一平行线等分线段定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言及变式图形.2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算.3.会用三角形中位线定理解决问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和点A',B',C',且AB=BC,则A'B'=B'C'图形语言ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123变式图形作用证明线段相等ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123名师点拨1.平行线等分线段定理的条件是a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.2.平行线的条数可以多于3条,该定理还可以推广.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】如图,已知l1∥l2∥l3,直线a分别与l1,l2,l3相交于点A,B,C,且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于点A1,B1,C1,则有()A.A1B1=B1C1B.A1B1B1C1C.A1B1B1C1D.A1B1与B1C1的大小不确定解析:∵l1∥l2∥l3,AB=BC,根据平行线等分线段定理,∴A1B1=B1C1.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.推论1文字语言经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边符号语言在△ABC中,D为AB的中点,过D作DE∥BC,交AC于E,则E平分AC图形语言作用证明线段相等,求线段的长度知识拓展三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边长的一半.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2】如图,已知DE是△ABC的中位线,点F是BC上任一点,AF交DE于点G,则有()A.AGGFB.AG=GFC.AGGFD.AG与GF的大小不确定解析:∵DE是△ABC的中位线,∴在△ABF中,DG∥BF.又AD=DB,∴点G平分AF,即AG=GF.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.推论2知识拓展梯形中位线的性质:梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底边长和的一半.文字语言经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰符号语言在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,过点E作EF∥BC,交CD于点F,则点F平分CD图形语言作用证明线段相等、求线段的长度ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10cm,E为AB的中点,点F在DC上,且EF∥AD,则EF的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.不确定解析:由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线,答案:A则EF=12(𝐴𝐷+𝐵𝐶)=12×10=5(cm).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析:(1)推论1,如图①,在△ABC中,B'为AB的中点,过点B'作B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航证明:如图②,过点A作直线a∥BC,∵BC∥B'C',∴a∥BC∥B'C'.∵AB'=BB',∴AC'=CC',即点C'是AC的中点.(2)推论2,如图③,已知在梯形ACC'A'中,AA'∥CC',B是AC的中点,过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC',∴AA'∥BB'∥CC'.∵AB=BC,∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一任意等分已知线段【例1】如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.分析:利用平行线等分线段定理来作图.作法:如图,(1)作射线AC;(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5;(3)连接D5B;(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:(1)作射线AC(与AB不共线);(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;(3)连接DnB;(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】如图,已知线段AB,请用平行线等分线段定理将线段AB分成两部分,且两部分之比为2∶3.解:已知:线段AB.求作:线段AB上一点O,使AO∶OB=2∶3.作法:(1)如图,作射线AC.(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH.(3)连接BH.(4)过点E作EO∥HB,交AB于点O,则点O为所求的点.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二证明线段相等【例2】如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点.求证:OA=OB.分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需证明点O在AB的垂直平分线上即可.证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图.∵AC⊥AB,DB⊥AB,∴OE∥AC∥DB.∵O为CD的中点,∴E为AB的中点.又OE⊥AB,∴OA=OB.反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,M是CD的中点.求证:AM=BM.证明:如图,过点M作ME∥BC交AB于点E,∵AD∥BC,∴AD∥EM∥BC.∵M是CD的中点,∴E是AB的中点.∵∠ABC=90°,∴∠MEA=∠MEB=90°,∴ME垂直平分AB.∴AM=BM.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三三角形中位线性质的应用【例3】如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求证:BC=2EF.分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.∵AB∥DC,∴四边形ABCG是平行四边形.∴AG􀰿BC.∵EF∥BC,∴EF∥AG.∵E为AD的中点,∴F是DG的中点.反思1.如果在三角形中出现中点,那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题.2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线即可.∴EF=12𝐴𝐺.∴𝐸𝐹=12𝐵𝐶,即BC=2EF.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】求证:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.证明:已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC.∵AH=HD,DG=GC,∴HG􀰿EF.∴四边形EFGH是平行四边形.∴HG∥AC,HG=12𝐴𝐶.同理EF∥AC,EF=12𝐴𝐶.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航