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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一空间向量的概念数学概念是数学体系的基础,准确掌握空间向量的有关概念是学好空间向量的关键.注意概念的严密、精练、准确性,防止缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况.综合应用专题一专题二专题三应用给出下列命题:①若𝐴𝐵=𝐶𝐷,则必有𝐴与𝐶重合,𝐵与𝐷重合,𝐴𝐵与𝐶𝐷为同一线段;②若a·b0,则a,b是钝角;③若a是直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是l的方向向量;④非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a都是共面向量,则a,b,c必共面.其中错误命题的个数是()A.1B.2C.3D.4综合应用专题一专题二专题三解析:①错误.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,𝐴𝐵=𝐴1𝐵1,但线段AB与A1B1不重合;②错误.a·b0,即cosa,b0⇒π2a,b≤π,而钝角的取值范围是π2,π;③错误.当λ=0时,λa=0不能作为直线l的方向向量;④错误.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,令𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c,则它们两两共面,但显然𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐴1是不共面的.答案:D综合应用专题一专题二专题三专题二空间向量与线面的位置关系利用向量平行、向量垂直的条件,解决空间中的平行与垂直关系,将几何证明转化为纯代数运算,从而使问题得以简化.(1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.综合应用专题一专题二专题三(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.综合应用专题一专题二专题三应用1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.证明:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.提示:底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,所以可建立空间直角坐标系使用空间向量来证明.综合应用专题一专题二专题三证明:(1)如图所示,建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设DC=a.连接AC交BD于点G,连接EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),𝐸0,𝑎2,𝑎2.∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为𝑎2,𝑎2,0,综合应用专题一专题二专题三𝑃𝐴=(𝑎,0,−𝑎),𝐸𝐺=𝑎2,0,-𝑎2.∴𝑃𝐴=2𝐸𝐺.则PA∥EG.而EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),∴𝑃𝐵=(𝑎,𝑎,−𝑎).又𝐷𝐸=0,𝑎2,𝑎2,故𝑃𝐵·𝐷𝐸=0+𝑎22−𝑎22=0,∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,∴PB⊥平面EFD.综合应用专题一专题二专题三应用2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱𝐴𝐴1=1,侧面𝐴𝐴1𝐵1𝐵的两条对角线的交点为𝐷,𝐵1𝐶1的中点为𝑀,求证:𝐷𝑀⊥平面BCD.综合应用专题一专题二专题三证明:建立如图所示的空间直角坐标系,由AC=1,BC=2,𝐴𝐴1=1知,C(0,0,0),A(0,0,1),B2,0,0,𝐶10,1,0,𝐴10,1,1,𝐵12,1,0,𝑀22,1,0,𝐷22,12,12,∴𝐷𝑀=0,12,-12,𝐵𝐶=(−2,0,0),𝐶𝐷=22,12,12.∴𝐷𝑀·𝐵𝐶=0,𝐷𝑀·𝐶𝐷=0,∴𝐷𝑀⊥𝐵𝐶,𝐷𝑀⊥𝐶𝐷.即DM⊥BC,DM⊥CD,BC∩CD=C,∴DM⊥平面BCD.综合应用专题一专题二专题三专题三利用空间向量求空间的角与距离利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点.解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量,并用它们表示空间中的角及距离,所有的空间距离问题用向量求时,有着相同的表现形式.应加强理解,求角时,要弄清向量夹角与所求角的关系.应用1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1所成角的大小.提示:已知正方体中有两两垂直的关系,故可考虑建系用法向量求解.综合应用专题一专题二专题三解:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,∵E,F分别是AA1,AB的中点,∴E(2,0,1),F(2,1,0),∴𝐸𝐹=(0,1,−1).又B(2,2,0),∴𝐷𝐵=(2,2,0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD⊥平面ACC1A1.∴𝐷𝐵为平面ACC1A1的法向量.又cos𝐸𝐹,𝐷𝐵=𝐸𝐹·𝐷𝐵|𝐸𝐹||𝐷𝐵|=12,∴𝐸𝐹与𝐷𝐵所成的角为π3,∴EF与平面ACC1A1所成角的大小为π6.综合应用专题一专题二专题三应用2如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23.(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.提示:设CD的中点为O,可证明MO,BO,CD两两垂直,从而可用等积法、定义法求解或者建系用向量法来求解.综合应用专题一专题二专题三解:取CD中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系.由题意得,OB=OM=3,各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,3),𝐵(0,−3,0),𝐴(0,−3,23).综合应用专题一专题二专题三(1)设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则𝐵𝐶=(1,3,0),𝐵𝑀=(0,3,3).由n⊥𝐵𝐶,得x+3𝑦=0;由n⊥𝐵𝑀,得3𝑦+3𝑧=0.取n=(3,−1,1),又𝐵𝐴=(0,0,23),则d=|𝐵𝐴·𝑛||𝑛|=235=2155.所以点A到平面MBC的距离是2155.综合应用专题一专题二专题三(2)𝐶𝑀=(−1,0,3),𝐶𝐴=(−1,−3,23).设平面ACM的法向量为n1=(x,y,z),由𝑛1⊥𝐶𝑀,𝑛1⊥𝐶𝐴得-𝑥+3𝑧=0,-𝑥-3𝑦+23𝑧=0,解得x=3𝑧,𝑦=𝑧,取n1=(3,1,1).又平面BCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cosn1,n2=𝑛1·𝑛2|𝑛1||𝑛2|=15.设所求二面角为θ,则sinθ=255.所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值是255.真题放送1231.(课标全国高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3𝐴𝐷.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.真题放送123(2)解:如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),𝐶(−1,3,0),𝑃(0,0,1).𝐴𝐵=(−1,3,0),𝑃𝐵=(0,3,−1),𝐵𝐶=(−1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝐴𝐵=0,𝑛·𝑃𝐵=0,即-𝑥+3𝑦=0,3𝑦-𝑧=0.因此可取n=(3,1,3).设平面PBC的法向量为m,则𝑚·𝑃𝐵=0,𝑚·𝐵𝐶=0.可取m=(0,-1,−3),cosm,n=-427=−277.故二面角A-PB-C的余弦值为−277.真题放送1232.(安徽高考)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:直线BC∥EF;(2)求棱锥F-OBED的体积.真题放送123(1)证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点.𝑄𝐸为x轴正向,𝑄𝐷为y轴正向,𝑄𝐹为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E(3,0,0),𝐹(0,0,3),𝐵32,-32,0,𝐶0,-32,32.则有𝐵𝐶=-32,0,32,𝐸𝐹=(−3,0,3).所以𝐸𝐹=2𝐵𝐶,即得BC∥EF.真题放送123(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S△EOB=32.而△OED是边长为2的正三角形,故S△OED=3.所以S四边形OBED=S△EOB+S△OED=332.过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F-OBED的高,且FQ=3,所以VF-OBED=13𝐹𝑄·S四边形OBED=32.真题放送1233.(北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.真题放送123(2)解:设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=3.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,−3,2),𝐴(0,−3,0),𝐵(1,0,0),𝐶(0,3,0).所以𝑃𝐵=(1,3,−2),𝐴𝐶=(0,23,0).设PB与AC所成角为θ,则cosθ=𝑃𝐵·𝐴𝐶|𝑃𝐵||𝐴𝐶|=622×23=64.真题放送123(3)解:由(2)知BC=(−1,3,0).设P(0,−3,𝑡)(𝑡0),则BP=(−1,−3,𝑡).设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则𝐵𝐶·m=0,𝐵𝑃·m=0.所以-𝑥+3𝑦=0,-𝑥-3𝑦+𝑡𝑧=0.令y=3,则x=3,z=6𝑡.所以m=3,3,6𝑡.同理,平面PDC的法向量n=-3,3,6𝑡.因为平面PBC⊥平面PDC,所以m·n=0,即-6+36𝑡2=0.解得t=6.所以PA=6.真题放送