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-1-3.1.4空间向量的直角坐标运算目标导航1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直.4.会计算向量的长度及两向量的夹角.知识梳理1.空间向量的坐标表示(1)单位正交基底.建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},这个基底叫做单位正交基底.单位向量i,j,k都叫做坐标向量.【做一做1-1】设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,则|e1|+|e2|+|e3|=.答案:3知识梳理(2)空间向量的坐标表示.在空间直角坐标系中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序实数组(a1,a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作a=(a1,a2,a3).【做一做1-2】向量0的坐标为.答案:(0,0,0)名师点拨向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如向量a=(x,y,z),点A(x,y,z).知识梳理2.空间向量的直角坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则容易得到a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3);a·b=a1b1+a2b2+a3b3.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)−(𝑥1,𝑦1,𝑧1)=(𝑥2−𝑥1,𝑦2−𝑦1,𝑧2−𝑧1).【做一做2】设a=(1,2,3),b=(1,1,1),则2a+b=.答案:(3,5,7)知识梳理3.空间向量平行和垂直的条件设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,当b1,b2,b3都不为0时,a∥b⇔𝑎1𝑏1=𝑎2𝑏2=𝑎3𝑏3;(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.【做一做3】设a=(1,2,3),b=(1,-1,x),若a⊥b,则x=.答案:13知识梳理4.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=𝑎·𝑎=𝑎12+𝑎22+𝑎32,|b|=𝑏·𝑏=𝑏12+𝑏22+𝑏32,cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32𝑏12+𝑏22+𝑏32.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|𝐴𝐵|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2+(𝑧2-𝑧1)2.【做一做4】向量a=(2,-1,-1),b=(1,-1,0)的夹角余弦值为,𝑎-𝑏=____________________________.答案:322知识梳理名师点拨1.空间向量的坐标是空间向量的一种形式.在坐标形式下的模长公式、夹角公式、向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同,仅仅是形式不同;2.空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)、夹角、证明垂直和平行关系等.重难聚焦如何理解空间向量的坐标及其运算?剖析:(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系.向量的坐标是其终点与起点坐标的差量.只有以原点为起点的向量,向量的坐标才等于向量终点的坐标.(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致,只是多了一个竖坐标.(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算.典例透析题型一题型二题型三空间向量的坐标运算【例1】设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算3a-2b,(a+b)·(a-b).分析:利用空间向量的坐标运算先求3a,2b,a+b,a-b,再进行相关运算.解:3a=(9,15,-12),2b=(4,2,16),3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(9-4,15-2,-12-16)=(5,13,-28);a+b=(3,5,-4)+(2,1,8)=(3+2,5+1,-4+8)=(5,6,4);a-b=(3,5,-4)-(2,1,8)=(3-2,5-1,-4-8)=(1,4,-12),(a+b)·(a-b)=(5,6,4)·(1,4,-12)=5×1+6×4+4×(-12)=5+24-48=-19.反思空间向量的坐标运算首先进行数乘运算,然后再进行加减运算,最后进行数量积运算,先算括号内的后算括号外的.典例透析题型一题型二题型三空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.(1)a∥b;(2)a⊥b.分析:解答本题可先由a∥b,a⊥b分别建立关于x的方程,再解方程即可.解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,∴x≠1.③当x≠0,x≠1时,由a∥b⇔1-𝑥21=-3𝑥𝑥=𝑥+11-𝑥⇔1-𝑥2=-3,𝑥+11-𝑥=-3⇔x=2.综上所述,当x=0或x=2时,a∥b.典例透析题型一题型二题型三(2)a⊥b⇔a·b=0,∴(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0⇔1-x2-3x2+1-x2=0,解得x=±105.∴当x=±105时,a⊥b.反思要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.典例透析题型一题型二题型三空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以𝐴𝐵,𝐴𝐶为邻边的平行四边形面积.分析:已知三点A,B,C的坐标,先求𝐴𝐵,𝐴𝐶,|𝐴𝐵|,|𝐴𝐶|,𝐴𝐵·𝐴𝐶,再求cos𝐴𝐵,𝐴𝐶,sin𝐴𝐵,𝐴𝐶,从而得到结论.典例透析题型一题型二题型三解:∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),∴𝐴𝐵=(−2,1,6)−(0,2,3)=(−2,−1,3),𝐴𝐶=(1,−1,5)−(0,2,3)=(1,−3,2).∴|𝐴𝐵|=(-2)2+(-1)2+32=14,|𝐴𝐶|=12+(-3)2+22=14,𝐴𝐵·𝐴𝐶=(−2,−1,3)·(1,-3,2)=-2+3+6=7.∴cos𝐴𝐵,𝐴𝐶=𝐴𝐵·𝐴𝐶|𝐴𝐵||𝐴𝐶|=12,∴sin𝐴𝐵,𝐴𝐶=32.以𝐴𝐵,𝐴𝐶为邻边的平行四边形的面积S=|𝐴𝐵||𝐴𝐶|sin𝐴𝐵,𝐴𝐶=73.典例透析题型一题型二题型三反思运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路:(1)建立空间直角坐标系;(2)求出相关点的坐标和向量坐标;(3)结合公式进行计算;(4)将计算的向量结果转化为几何结论.典例透析123451.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),令a=𝐶𝐴,b=𝐶𝐵,则a+b对应的坐标为()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)解析:a=𝐶𝐴=(2,−4,−1)−(3,−4,1)=(−1,0,−2),b=𝐶𝐵=(−1,5,1)−(3,−4,1)=(−4,9,0),故a+b=(-5,9,-2).答案:B6典例透析123452.下面各组向量不平行的是()A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0)B.c=(0,1,0),d=(1,0,1)C.e=(0,1,-1),f=(0,-1,1)D.g=(1,0,0),h=(0,0,0)解析:A项中b=-3a,a∥b,C项中f=-e,f∥e,D项中h=0,∴h∥g.答案:B6典例透析123453.已知a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c-a)·2b=-2,则x的值为()A.3B.4C.2D.1解析:∵(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,∴2(1-x)=-2,x=2.答案:C6典例透析123454.已知A(2,0,1),B(3,4,-2),则|𝐴𝐵|=________________.解析:|𝐴𝐵|=(3-2)2+(4-0)2+(-2-1)2=26.答案:266典例透析123455.已知向量a=(2,-3,3),b=(1,0,0),则cosa,b=.解析:cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=2×1+0+022+(-3)2+(3)2×12+02+02=12.答案:126典例透析1234566.已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2),求向量n使n⊥a,且n⊥b.解:设n=(x,y,z),则n·a=(x,y,z)·(-2,2,0)=-2x+2y=0,n·b=(x,y,z)·(-2,0,2)=-2x+2z=0.解方程组-2𝑥+2𝑦=0,-2𝑥+2𝑧=0,可得y=x,z=x.于是向量n=(x,x,x)=x(1,1,1),x∈R.典例透析