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-1-3.1.1空间向量的线性运算目标导航1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.3.能运用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何中的问题.知识梳理1.空间向量的概念(1)向量:在空间中,具有大小和方向的量.(2)相等的向量(同一向量):同向且等长的有向线段表示的向量.(3)零向量:起点与终点重合的向量.(手写记作0→)(4)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.(5)向量的基线:表示向量的有向线段所在的直线.(6)共线向量或平行向量:基线互相平行或重合的空间向量,规定:零向量与任意向量共线.名师点拨在空间中,A为向量𝐴𝐵的起点,B为向量𝐴𝐵的终点.【做一做1】正方体ABCD-A'B'C'D'中与向量𝐴𝐴’相等的向量有________________个.答案:3知识梳理2.空间向量的加法、减法和数乘运算(1)加法:a+b=𝑂𝐵.(2)减法:a-b=𝐶𝐴.(3)数乘:|λa|=|λ||a|,当λ0时,λa与a方向相同;当λ0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa为零向量.(4)线性运算律①加法交换律:a+b=b+a;②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.知识梳理名师点拨1.平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.2.三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.知识梳理【做一做2-1】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,𝐴𝐴1=c,则𝐷1𝐵等于()A.a+b+cB.a+b-cC.a-b-cD.-a+b+c解析:画图(图略)可得𝐷1𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝐷1=𝐴𝐵−𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1=𝐴𝐵−(𝐴𝐴1+𝐴𝐷)=a-b-c.答案:C【做一做2-2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,|𝐴𝐵−𝐶𝐵+𝐶𝐵1|=______________.答案:2重难聚焦1.如何理解空间向量的有关概念?剖析:(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样.(2)零向量的方向是任意的,而不是零向量没有方向.(3)向量只是用有向线段来表示,但向量不是有向线段.(4)共线向量或平行向量,其基线平行或重合均可.共线向量的起点和终点未必共线,平行向量的基线未必平行(可能重合),应特别注意零向量与任意向量共线.重难聚焦2.空间向量加法的运算要注意什么?剖析:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.如:𝐴1𝐴2+𝐴2𝐴3+𝐴3𝐴4+⋯+𝐴𝑛-1𝐴𝑛=𝐴1𝐴𝑛.因此,求空间若干个向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.重难聚焦(2)首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:𝐴1𝐴2+𝐴2𝐴3+𝐴3𝐴4+⋯+𝐴𝑛-1𝐴𝑛+𝐴𝑛𝐴1=0.(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立.典例透析题型一题型二题型三空间向量的概念【例1】下列命题是真命题的序号是.①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,𝐴𝐵与𝐶𝐷这两个向量不是共线向量.②若向量a与b平行,则a,b的方向相同或相反.③若向量𝐴𝐵,𝐶𝐷满足|𝐴𝐵||𝐶𝐷|,且𝐴𝐵与𝐶𝐷同向,则𝐴𝐵𝐶𝐷.④若向量a=b,则|a|=|b|.解析:①因为𝐴𝐵与𝐶𝐷的基线平行,所以这两个向量是共线向量;②若向量a=0,则a与b平行,但是不能说零向量与某一向量方向相同或相反,否则与零向量的方向是任意的这一原理相矛盾;③向量不能比较大小;④根据向量相等的定义,知此命题正确.答案:④典例透析题型一题型二题型三反思注意空间向量概念的理解,注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体.典例透析题型一题型二题型三空间向量的线性运算【例2】已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,M为CC'的中点(如图),化简下列向量表达式,并在图中表示化简结果.(1)𝐴𝐵+𝐵'𝐶';(2)𝐴𝐵+𝐴𝐷+12𝐶𝐶'.分析:(1)利用𝐵'𝐶'=𝐵𝐶或𝐴𝐵=𝐴'𝐵';(2)利用𝐴𝐷=𝐵𝐶.典例透析题型一题型二题型三解:(1)𝐴𝐵+𝐵'𝐶'=𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐴'𝐶'.化简结果表示如图.(2)𝐴𝐵+𝐴𝐷+12𝐶𝐶'=𝐴𝐵+𝐵𝐶+12𝐶𝐶'=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝑀=𝐴𝑀.化简结果表示如图.反思注意结合图形使用相等向量转化.典例透析题型一题型二题型三化简向量表达式【例3】化简向量𝐵𝐶−𝐵𝐸+𝐶𝐷+𝐷𝐸.分析:注意使用相反向量−𝐵𝐸=𝐸𝐵.解:𝐵𝐶−𝐵𝐸+𝐶𝐷+𝐷𝐸=𝐵𝐶+𝐸𝐵+𝐶𝐷+𝐷𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐸+𝐸𝐵=0.反思空间向量的减法运算注意使用相反向量,无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律,同时注意运算结果是0,而不是0.典例透析12341.“两个向量共线”是“两个向量相等”的条件.答案:必要不充分典例透析12342.已知M,N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点,则𝑀𝑁=________(𝐴𝐷+𝐵𝐶).答案:12典例透析12343.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,分别写出与向量𝐴𝐵共线的向量和相等的向量.解:与向量𝐴𝐵共线的向量有:𝐵𝐴,𝐵1𝐴1,𝐴1𝐵1,𝐷𝐶,𝐶𝐷,𝐷1𝐶1,𝐶1𝐷1;与向量𝐴𝐵相等的向量有:𝐴1𝐵1,𝐷𝐶,𝐷1𝐶1.典例透析12344.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中化简下列各式:(1)𝐴𝐵−𝐴1𝐷1;(2)𝐵𝐴+𝐵𝐶+𝐶𝐶1.解:(1)𝐴𝐵−𝐴1𝐷1=𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐷𝐵=𝐷1𝐵1.(2)𝐵𝐴+𝐵𝐶+𝐶𝐶1=𝐵𝐷+𝐶𝐶1=𝐵𝐷+𝐷𝐷1=𝐵𝐷1.典例透析