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-1-3.3幂函数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥12的图象,了解它们的简单性质.3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.幂函数的定义一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.关于定义的理解:①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】下列函数是幂函数的是()解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式.答案:DA.y=3x2B.y=x2+1C.y=−1𝑥D.y=xπ【做一做1-2】若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是()A.0B.1C.0或1D.k≠0,且k≠1解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图象与性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航续表y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在(0,+∞)为增函数,在(-∞,0)为减函数增增在(0,+∞)为减函数,在(-∞,0)为减函数定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)12已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】函数y=𝑥53的图象大致是()解析:y=𝑥53为奇函数,排除选项D,因为531,所以函数图象应为选项B的图象.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是()A.y=𝑥43B.y=𝑥32C.y=x-2D.y=𝑥-14答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-3】当α∈-1,12,1,3时,幂函数y=xα的图象不可能经过第象限.解析:当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数,且当x0时,y0,当x0时,y0,不经过第二、四象限.当α=12时,y=𝑥12,此时图象只在第一象限.答案:二、四ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、详述幂函数的定义和定义域剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)幂函数的定义域由指数α确定.①当α是正整数时,x∈R.②当α是正分数时,设α=𝑝𝑞(p,q是互质的正整数),若q是奇数,则y=xα的定义域是R;若q是偶数,则y=xα的定义域是[0,+∞).③当指数α是负整数时,设α=-k,xα=1𝑥𝑘,则x∈{x|x∈R,且x≠0}.④当指数α是负分数时,设n=−𝑝𝑞(p,q是互质的正整数),若q是奇数,则定义域为{x|x∈R,且x≠0};若q是偶数,则定义域为(0,+∞).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、幂函数的图象与性质剖析:(1)幂函数的图象幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x0四种情况.②奇偶性.③单调性:侧重点在第一象限.当指数α0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)幂函数的性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);②若α0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;③若α0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航三、教材中的“思考与讨论”(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α1与0α1的图象有何不同?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数.(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单调递增.(3)两者图象的区别和联系:无论α1还是0α1,函数y=xα在[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢,在(1,+∞)上前者比后者增长得快.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一幂函数的定义【例1】(1)下列函数中,是幂函数的是.(填序号)①y=x-3;②y=5x2;③y=x2+2x;④y=(x-1)4;⑤y=1𝑥2.(2)若幂函数f(x)的图象经过点4,116,则𝑓22的值等于_____.解析:(1)由幂函数的定义知,①是幂函数,②③④不是幂函数,而y=1𝑥2=𝑥−2,故⑤也是幂函数.(2)由题意,设f(x)=xα,则4α=116,解得α=-2,于是f(x)=x-2,故𝑓22=22-2=2.答案:(1)①⑤(2)2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.有些函数,形式上不符合幂函数的定义,但经过化简整理后符合幂函数的定义,也是幂函数.例如,y=𝑥,y=1𝑥等.2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数α,因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)下列函数①y=x2+1;②y=𝑥-12;③y=2x2;④y=𝑥-23;⑤y=𝑥-13+1.其中是幂函数的是()A.①⑤B.①②③C.②④D.②③⑤(2)若幂函数y=f(x)的图象经过点9,13,则f(25)=.解析:(1)只有②y=𝑥-12和④y=𝑥-23是幂函数;(2)设f(x)=xα,由9α=13,得α=−12,f(x)=𝑥-12,f(25)=25-12=15.答案:(1)C(2)15ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二幂函数的图象【例2】幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.bcdaB.bcadC.abcdD.adcbZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:方法一(性质法):由幂函数的性质可知,当自变量x1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有bcda.方法二(类比法):当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a0.函数y=xb在区间[0,+∞)上是增函数,图象下凸,类似于函数y=x2,故b1.故0c1,0d1.所以a最小,b最大.同理可知y=xc,y=xd类似于y=𝑥12,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四方法三(特殊值法):作直线x=2,由图象可知2a2d2c2b,由指数函数的性质可知adc