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-1-3.2.2对数函数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象.3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.4.熟练掌握对数函数的图象和性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.对数函数的定义函数y=logax(a0,a≠1,x0)称为对数函数,其中x是自变量.名师点拨1.对数函数也采取形式化的定义方式,即形如y=logax(a0,a≠1,x0)的函数叫做对数函数.对数函数的解析式具有以下特征:对数符号前面的系数等于1;对数的底数必须是大于0且不等于1的实数;对数的真数仅为自变量x.2.对数函数的解析式中其底数与指数函数解析式中的底数在范围上是一样的,即a0,且a≠1.3.由对数函数的定义可知,对数函数与指数函数的定义域和值域恰好互换.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】给出以下函数:①y=-log3x;②y=log3𝑥;③y=logx4;④y=2log5x;⑤y=log2(x-2);⑥y=log2(4x).其中是对数函数的是.(填序号)解析:只有②y=log3𝑥符合对数函数的定义,其余均不是对数函数.答案:②ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0当x∈(0,1)时,y0当x∈(1,+∞)时,y0当x∈(0,1)时,y0当x∈(1,+∞)时,y0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12归纳总结1.对数函数的图象都经过定点(1,0)是因为不论a取何值,总有loga1=0.对于函数y=logaf(x)+b(a0,a≠1),若令f(x)=1,解得x=x0,则该函数图象一定经过定点(x0,b).3.设y1=logax,y2=logbx,其中a1,b1(或0a1,0b1).当x1时,“底大图低”,即若ab,则y1y2;当0x1时,“底大图高”,即若ab,则y1y2.4.对于对数函数y=logax,当y=1时,x=a,而a恰好又是对数函数的底数,这就启发我们,不妨作直线y=1,它与对数函数的图象相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数,用这种办法可以快速地比较出多个对数函数的底数的大小.2.函数y=logax(a0,a≠1)与y=log1𝑎𝑥(a0,a≠1)的图象关于x轴对称,这是因为y=log1𝑎𝑥=−logax.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是()A.y=5xB.y=lgx+2答案:DC.y=x2+1D.y=log12𝑥ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】函数f(x)=|log2x|的图象是()答案:A解析:f(x)=log2𝑥,𝑥≥1,-log2𝑥,0𝑥1,只需把函数y=log2x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-3】若a0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)-1的图象恒过点.解析:由函数y=logax的图象恒过点(1,0)可知,当x-1=1,即x=2时,y=-1.答案:(2,-1)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、底数对对数函数图象的影响剖析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=log2x及y=log3x的图象,如图所示,可以看出,底数越大,图象越靠近x轴.同理,当0a1时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时比较底数大小的问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航类似地,在同一平面直角坐标系中分别作出y=logax(a1)及y=logax(0a1)的图象.如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由左向右逐渐增大.例如,C1,C2,C3,C4分别对应y=log𝑎1𝑥,y=log𝑎2𝑥,y=log𝑎3𝑥,y=log𝑎4𝑥,则必有a4a31a2a10.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、比较对数值大小的方法总结剖析:利用对数函数的性质可以比较两个对数的大小,常用的方法是:当底数相同真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较,即当a1时,在(0,+∞)上是增函数,当0a1时,在(0,+∞)上是减函数;当底数不相同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律进行比较;当底数和真数各不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,通过第三个数的传递进而比较出两个对数的大小.当底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.对于多个对数的大小比较,通常先找出(-∞,0),(0,1),(1,+∞)中的各数,然后把位于同一区间中的数进行比较.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航三、函数y=|logax|(a0,a≠1)与y=loga|x|(a0,a≠1)的图象与性质剖析:(1)函数y=|logax|(a0,a≠1)的图象与性质a10a1图象定义域(0,+∞)值域[0,+∞)单调性在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)函数y=loga|x|(a0,a≠1)的图象与性质a10a1图象定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域R单调性在(-∞,0)内单调递减在(0,+∞)内单调递增在(-∞,0)内单调递增在(0,+∞)内单调递减奇偶性偶函数ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航四、教材中的“?”对数函数y=logax(a0,且a≠1),当a1,x取何值时,y0?x取何值时,y0?0a1呢?剖析:结合对数函数的图象可知,当a1时,若x1,则y0;若0x1,则y0.当0a1时,若x1,则y0;若0x1,则y0.实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn有以下规律:(1)当(m-1)(n-1)0,即m,n的取值范围相同(相对于“1”而言)时,logmn0;(2)当(m-1)(n-1)0,即m,n的取值范围相反(相对于“1”而言)时,logmn0.有了以上规律,我们再判断对数值的正负就很简单了.如log1230,log13150,log5π0等,一看便知结果.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型一有关对数函数的定义域、值域的问题【例1】求下列函数的定义域:(1)y=log2(x-1)+log2(x+1);(2)y=lg(6-𝑥)𝑥-2;(3)y=log4𝑥-2;(4)y=log12(𝑥+1)+2.分析:按照求函数定义域的基本要求以及对数式中“真数大于0”这一限制条件,列不等式组求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)要使函数有意义,则𝑥-10,𝑥+10,解得x1,故函数的定义域为(1,+∞);(2)要使函数有意义,则𝑥-2≠0,6-𝑥0,解得x6,且x≠2,故函数的定义域为(-∞,2)∪(2,6);(3)要使函数有意义,则log4x-2≥0,即log4x≥2.解得x≥16,故函数的定义域是[16,+∞);ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(4)要使函数有意义,则log12(x+1)+2≥0,即log12(x+1)≥-2,也就是log12(x+1)≥log124,则x+10,且x+1≤4,解得-1x≤3,故函数的定义域为(-1,3].反思根据解析式,求与对数有关的函数的定义域,除了我们以前知道的限制条件外,还要注意对数的底数大于0不等于1,真数大于0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】求下列函数的定义域:(1)f(x)=log214𝑥-3;(2)f(x)=log13(2x-1)+1log2𝑥;(3)f(x)=log13(2𝑥-1).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)要使函数有意义,则14𝑥-30,即x34,故函数的定义域为34,+∞;(2)要使函数有意义,则2𝑥-10,log2𝑥≠0,解得x12,且x≠1,故函数的定义域为12,1∪(1,+∞);(3)要使函数有意义,则log13(2x-1)≥0,所以02x-1≤1,解得12𝑥≤1,故函数的定义域为12,1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【例2】求函数y=log2(x2+2x+5)的值域.分析:先