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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一导数的概念及其几何意义1.用定义求导数的一般步骤:(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);(2)求平均变化率Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥;(3)取极限,得f'(x)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x.2.导数的几何意义:由于函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.综合应用专题一专题二专题三应用1已知f(x)在x=x0处可导,则lim𝑥→𝑥0[𝑓(𝑥)]2-[𝑓(𝑥0)]2𝑥-𝑥0=()A.f'(x0)B.f(x0)C.[f'(x0)]2D.2f'(x0)f(x0)提示:对所给式子进行变形,用导数的定义解题.解析:∵limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚x→x0𝑓(𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑥-𝑥0=f'(x0),∴lim𝑥→𝑥0[𝑓(𝑥)]2-[𝑓(𝑥0)]2𝑥-𝑥0=lim𝑥→𝑥0[𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥0)][𝑓(𝑥)-𝑓(𝑥0)]𝑥-𝑥0=lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑥-𝑥0·lim𝑥→𝑥0[f(x)+f(x0)]=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)·f(x0).答案:D综合应用专题一专题二专题三应用2设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.lim𝑥→0f(1)-f(1-x)2x=-1提示:根据导数的几何意义及已知条件可知,欲求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率,即求f'(1).注意到所给条件的形式与导数的定义中f'(x)=f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x的比较,由已知的极限式变形可求得f'(1).解:∵f(x)为可导函数,且𝑙𝑖𝑚x→0𝑓(1)-𝑓(1-𝑥)2𝑥=-1,∴12lim𝑥→0𝑓(1)-𝑓(1-𝑥)𝑥=-1,∴lim𝑥→0𝑓(1)-𝑓(1-𝑥)𝑥=-2,即f'(1)=-2.∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为-2.综合应用专题一专题二专题三专题二用导数求函数的单调区间、极值、最值1.求函数单调区间的步骤:(1)确定f(x)的定义域;(2)计算导数f'(x);(3)求出f'(x)=0的根;(4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单调区间.2.求函数极值的步骤:(1)求导数f'(x);(2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点;(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.综合应用专题一专题二专题三3.求函数最值的步骤:(1)求函数f(x)在[a,b]上的极值;(2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.综合应用专题一专题二专题三应用已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.综合应用专题一专题二专题三解:(1)∵f(x)=ax3+x2+bx,∴f'(x)=3ax2+2x+b.故g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],∴有3a+1=0,b=0,解得a=-13,b=0.∴f(x)=-13x3+x2.(2)由(1)知g(x)=-13x3+2x,则g'(x)=-x2+2.令g'(x)=0,解得x1=-2,x2=2,则当x-2或x2时,g'(x)0,从而g(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)内是减函数;当-2x2时,g'(x)0,从而g(x)在区间(-2,2)内是增函数.由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,2,2时取得,而g(1)=53,g(2)=423,g(2)=43,因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)=423,最小值为g(2)=43.综合应用专题一专题二专题三专题三利用求导法证明不等式、求参数范围等1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决.利用f(x)a恒成立⇔f(x)maxa和f(x)a恒成立⇔f(x)mina的思想解题.3.解极值应用的问题一般分三个步骤:(1)建立函数关系式;(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点;(3)具体作出判断,得出结果.其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.综合应用专题一专题二专题三应用1求证:lnx+1𝑥−12(x-1)2≥23(1-x)3+1.提示:可利用构造函数求极值的方法予以证明,同时要注意到题中x0这一隐含条件.证明:设f(x)=lnx+1𝑥−12(x-1)2+23(x-1)3(x0),f'(x)=𝑥-1𝑥2-(x-1)+2(x-1)2=(x-1)1𝑥2-1+2(𝑥-1)=(x-1)1-𝑥2𝑥2+2(𝑥-1)=(x-1)22-1+𝑥𝑥2=(x-1)32𝑥+1𝑥2.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-12.又x0且在x=1附近f'(x)由负到正,∴当x=1时,f(x)有极小值,这里也是最小值.∴当x0时,f(x)≥f(1)=1.即得证.综合应用专题一专题二专题三应用2已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m,n的值.(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-2000对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.提示:(1)切线的倾斜角为⇒切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1,从而求出m,进而求出n.(2)不等式f(x)≤k-2000对于x∈[-1,3]恒成立⇔f(x)最大值≤k-2000,解不等式即可求得k.π4π4综合应用专题一专题二专题三解:(1)依题意,得f'(1)=tanπ4,即3m-1=1,m=23.因为f(1)=n,所以n=-13.(2)令f'(x)=2x2-1=0,得x=±22.当-1x-22时,f'(x)=2x2-10,此时f(x)为增函数;当-22x22时,f'(x)=2x2-10,此时f(x)为减函数;当22x3时,f'(x)=2x2-10,此时f(x)为增函数.又f-22=23,f(3)=15,因此,当x∈[-1,3]时,f(x)max=15.要使得不等式f(x)≤k-2000对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥15+2000=2015.所以,存在最小的正整数k=2015使得不等式f(x)≤k-2000对于x∈[-1,3]恒成立.真题放送1(辽宁高考)函数y=12x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)解析:对函数y=12x2-lnx求导,得y'=x-1𝑥=𝑥2-1𝑥(x0),令𝑥2-1𝑥≤0,𝑥0,解得x∈(0,1].因此函数y=12x2-lnx的单调递减区间为(0,1].故选B.答案:B2(陕西高考)设函数f(x)=2𝑥+lnx,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点解析:由f'(x)=-2𝑥2+1𝑥=1𝑥1-2𝑥=0,可得x=2.当0x2时,f'(x)0,f(x)单调递减;当x2时,f'(x)0,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.答案:D真题放送3(福建高考)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析:由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b.∵函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0.∴12-2a-2b=0,即a+b=6.又∵a0,b0,由均值不等式得a+b≥2𝑎𝑏,即ab≤𝑎+𝑏22=622=9,故ab的最大值是9.答案:D真题放送4(重庆高考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是()解析:由题意可得f'(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f'(x)0,此时xf'(x)0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)0,此时若x∈(-2,0),xf'(x)0,若x∈(0,+∞),xf'(x)0,所以函数y=xf'(x)的图象可能是选项C中的图象.答案:C真题放送5(辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)解析:由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则φ'(x)=f'(x)-20.∴φ(x)在R上是增函数.又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,∴当x-1时,φ(x)φ(-1)=0,即f(x)-2x-40,即f(x)2x+4.故选B.答案:B真题放送6(安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1𝑎𝑥+b(a0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.解:(1)f(x)的导数f'(x)=a-1𝑎𝑥2=𝑎2𝑥2-1𝑎𝑥2,当x1𝑎时,f'(x)0,f(x)在1𝑎,+∞上单调递增;当0x1𝑎时,f'(x)0,f(x)在0,1𝑎上单调递减.所以当x=1𝑎时,f(x)取最小值为2+b.(2)f'(x)=a-1𝑎𝑥2.由题设知,f'(1)=a-1𝑎=32,解得a=2或a=-12(不合题意,舍去).将a=2代入f(1)=a+1𝑎+b=32,解得b=-1.所以a=2,b=-1.真题放送7(课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f'(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.真题放送(1)解:f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知1-k0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞