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-1-3.3.3导数的实际应用目标导航1.会利用导数解决实际问题中的最优化问题.2.体会导数在解决实际问题中的作用.知识梳理1.最优化问题在经济生活中,人们经常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的方法之一.【做一做】下列问题不是最优化问题的是()A.利润最大B.用料最省C.求导数D.用力最省答案:C知识梳理2.求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),注明定义域.(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0,确定极值点.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为实际问题的最大(小)值.名师点拨实际问题中的变量是有范围的,即应考虑实际问题的意义,注明定义域.重难聚焦利用导数解决实际问题时应注意什么?剖析:(1)写出变量之间的函数关系y=f(x)后一定要写出定义域.(2)求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析,不符合实际意义的极值点应舍去.(3)在实际问题中,一般地,f'(x)=0在x的取值范围内仅有一个解,即函数y=f(x)只有一个极值点,则该点处的值就是问题中所指的最值.典例透析题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品,若该商品的售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少?分析:建立销售利润关于零售价的函数,应用导数研究最值.解:设利润为L(p),由题意可得L(p)=(p-20)·Q=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000(p0),∴L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,得p=30或p=-130(舍去).则L(30)=23000.∵当0p30时,L'(p)0;当p30时,L'(p)0,∴当p=30时,L(p)取得极大值.根据实际问题的意义知,L(30)就是最大值,即零售价定为每件30元时,利润最大,最大利润为23000元.典例透析反思根据课程标准的规定,有关函数最值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f'(x)=0,且该函数在这点取得极大(小)值,那么不与区间端点的函数值比较,就可以知道这就是实际问题的最大(小)值.典例透析【例2】将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小?分析:设其中一段长为xcm,则另一段长为(100-x)cm,然后用x表示出正方形与圆的面积之和S,求出方程S'=0的根,该根即为所求.解设弯成圆的一段铁丝长为x(0x100)cm,则另一段长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为Scm2,则正方形的边长a=100-𝑥4,圆的半径r=𝑥2π.∴S=π𝑥2π2+100-𝑥42=𝑥24π+𝑥216−252x+625.又S'=𝑥2π+𝑥8−252,令S'=0,则x=100π4+π.当0x100π4+π时,S'0;当100π4+πx100时,S'0.所以当x=100π4+π时,S取得极小值,也为最小值.故当弯成圆的铁丝长度为100π4+πcm时,正方形和圆的面积之和最小.典例透析反思在求最值时,往往需要建立函数关系式,若问题中给出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系,通过消元法达到建立函数关系式的目的.典例透析1要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应为()A.2033cmB.100cmC.20cmD.203cm解析:设圆锥的高为hcm,则V(h)=π3(400-h2)h,h∈(0,20).令V'(h)=π3(400-3h2)=0,得h=2033.答案:A典例透析2某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R(单位:元)与年产量x的关系是R(x)=400𝑥-12𝑥2,0≤𝑥≤400,80000,𝑥400,则总利润最大时,每年生产的产品数量是()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位解析:当x400时,利润f(x)=80000-20000-100x,∴当x400时,f(x)20000.当0≤x≤400时,f(x)=R(x)-20000-100x=-x2+300x-20000,∴f'(x)=-x+300.令f'(x)=0,则x=300.∵当0≤x300时,f'(x)0,当300x≤400时,f'(x)0.∴当x=300时,利润为最大.答案:D12典例透析3把长为40cm的铁丝围成矩形,当长为cm,宽为cm时,矩形面积最大.答案:10104将长为52cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形,则面积之和的最小值为cm2.解析:设剪成的2段中其中一段为xcm,x∈(0,52),则另一段为(52-x)cm,围成两个矩形的面积和为Scm2.依题意知,S=𝑥6×2𝑥6+3(52-𝑥)10×2(52-𝑥)10=118x2+350(52-x)2,S'=19x-325(52-x),令S'=0,解得x=27.则另一段为52-27=25(cm).此时Smin=78cm2.答案:78典例透析5某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,若生产出一件次品则损失100元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:p=3𝑥4𝑥+32(x∈N+).(1)将该厂的日盈利额T(单位:元)表示为日产量x(单位:件)的函数;(2)为获得最大盈利,该厂的日产量应定为件.解析:(1)由题意知,每日生产的次品数为px件,正品数为(1-p)x件,故T=200(1-p)x-100px=200x-300px=200x-900𝑥24𝑥+32=25(64𝑥-𝑥2)𝑥+8.(2)T'=25(64-2𝑥)(𝑥+8)-25(64𝑥-𝑥2)(𝑥+8)2=-25(𝑥+32)(𝑥-16)(𝑥+8)2.令T'=0,得x=16或x=-32(舍去).当0x16时,T'0;当x16时,T'0.故当x=16时,T取得最大值,即当日产量定为16件时,获得最大盈利.答案:(1)T=25(64𝑥-𝑥2)𝑥+8(2)16典例透析