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-1-3.3导数的应用-2-3.3.1利用导数判断函数的单调性目标导航1.通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数求函数的单调区间,判断函数的单调性.知识梳理用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,1.如果在(a,b)内,f'(x)0,则f(x)在此区间是增函数;2.如果在(a,b)内,f'(x)0,则f(x)在此区间是减函数.名师点拨此法则只说明函数y=f(x)在某区间上f'(x)0(或0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件,但并非必要条件.【做一做1】若函数y=f(x)的导函数f'(x)在(a,b)上恒大于0,则函数y=f(x)在(a,b)上是函数.(填“增”或“减”)答案:增【做一做2】函数y=f(x)的导函数f‘(x)0在(1,2)上恒成立,则区间(1,2)是函数y=f(x)的单调递区间.(填“增”或“减”)答案:减重难聚焦利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题?剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,在解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.典例透析题型一题型二题型三函数的图象与导数的关系【例1】已知导函数f'(x)的下列信息:当1x4时,f'(x)0;当x4或x1时,f'(x)0;当x=4或x=1时,f'(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.分析:题中给出的信息是函数y=f(x)在实数集上的部分,根据导函数的正负,画出曲线的一个上升或下降的趋势即可.典例透析题型一题型二题型三解:当1x4时,f‘(x)0,可知f(x)在区间(1,4)内是增函数,曲线应呈“上升”趋势;当x4或x1时,f'(x)0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)内是减函数,曲线应呈“下降”趋势;当x=4或x=1时,f'(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”.综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.反思本题考查函数单调性与导数的关系.知道导数在区间上的符号(正、负),可知函数在此区间上的单调性,进而可画出其大致图象.典例透析题型一题型二题型三求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3-3x+3;分析:利用函数单调性的判定法则解题.解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).令3(x+1)(x-1)0,解得x1或x-1.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).令3(x+1)(x-1)0,解得-1x1.因此,f(x)的单调递减区间为(-1,1(2)f(x)=x(ex-1)-12x2.典例透析题型一题型二题型三(2)f'(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令(ex-1)(x+1)0,解得x-1或x0.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).令(ex-1)(x+1)0,解得-1x0.因此,f(x)的单调递减区间为(-1,0).反思求函数f(x)单调区间的方法和步骤:①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在函数定义域内解不等式f'(x)0和f'(x)0;④确定f(x)的单调区间.典例透析题型一题型二题型三易错题型【例3】(1)求函数f(x)=x+1𝑥的单调区间;(2)已知f(x)=x+𝑎𝑥在[1,+∞)内是增函数,求a的取值范围.(1)错解f'(x)=1-1𝑥2.令1-1𝑥20,解得x1或x-1.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).令1-1𝑥20,解得-1x1.因此,f(x)的单调递减区间为(-1,1).错因分析没有注意到函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).典例透析题型一题型二题型三正解f'(x)=1-1𝑥2.令1-1𝑥20,解得x1或x-1.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).令1-1𝑥20,解得-1x1,且x≠0.因此,f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).典例透析题型一题型二题型三(2)错解f'(x)=1-𝑎𝑥2.由题意得1-𝑎𝑥20在[1,+∞)上恒成立,即ax2在[1,+∞)上恒成立.因为x2在[1,+∞)上的最小值为1,所以a1,即a的取值范围为(-∞,1).错因分析f(x)在[1,+∞)内是增函数时,导函数f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立;而错解用了f(x)在[1,+∞)内是增函数时,f'(x)0在[1,+∞)上恒成立.正解f'(x)=1-𝑎𝑥2.由题意,得1-𝑎𝑥2≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立.因为x2在[1,+∞)上的最小值为1,所以a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].典例透析1函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.(a,x1)B.(x2,b)C.(a,x1)∪(x2,b)D.(a,x1)和(x2,b)答案:D2在区间(a,b)内,f'(x)0是f(x)在(a,b)内是减函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A典例透析3函数f(x)=x3-3x2+9的单调递增区间为.答案:(-∞,0)和(2,+∞)4若函数f(x)=x3+ax2+4在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为.解析:f'(x)=3x2+2ax.由题意得3x2+2ax≤0在(0,2)内恒成立,即a≤-32x在(0,2)内恒成立.因为当x∈(0,2)时,-32x-3,所以a-3.当a=-3时,f(x)=x3-3x2+4满足题意,综上a的取值范围为(-∞,-3].答案:(-∞,-3]典例透析5函数f(x)=xlnx的单调递减区间为.解析:f'(x)=lnx+1.令lnx+10,解得x1e.又x0,所以函数f(x)=xlnx的单调递减区间为0,1e.答案:0,1e典例透析