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-1-3.2导数的运算-2-3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表目标导航1.能根据导数的定义,求函数y=C,y=x,y=x2,的导数.2.会使用导数公式表.y=1𝑥知识梳理1.常数函数的导数设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0.名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0.若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.【做一做1】函数的导数为.答案:0y=sinπ2知识梳理2.几种特殊的幂函数的导数(1)函数y=x的导数:x'=1.(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.(3)函数y=1𝑥的导数:1𝑥'=-1𝑥2.此式也可写成1𝑥'=(x-1)'=-x-2.名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一些简单函数的导数了.【做一做2】函数y=x2在x=6处的导数为.答案:12知识梳理3.基本初等函数的导数公式(1)C'=0(C为常数).(2)(xn)'=nxn-1(n为自然数);(xμ)'=μxμ-1(μ为有理数,且μ≠0,x0).(3)(ax)'=axlna(a0,a≠1);(ex)'=ex.(4)(logax)'=1𝑥ln𝑎(a0,a≠1,x0);(lnx)'=1𝑥(x0).(5)(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x0)可以归为一类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形,再求导.(2)logax与lnx等求导公式较难记忆,可以相互间作比较,如lnx=logex,则;对logax求导,只需把上式e换为a.(3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导,可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln2,(x2)'=2x.(lnx)'=1𝑥lne=1𝑥知识梳理【做一做3】求下列函数的导数:(1)y=1𝑥2;(2)y=4x.解(1)y'=-2𝑥3;(2)y'=4xln4.名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a0,且a≠1),对数函数y=logax(a0,a≠1,x0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数等.重难聚焦1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么?剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动.重难聚焦2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数?剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x0时,随着x的增加,函数y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.典例透析题型一题型二利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数:(1)y=1𝑥5;(2)y=x35;(3)y=3x;(4)y=log2x.分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形式,以免在求导时发生不必要的错误.解(1)y'=1x5'=(x-5)'=-5x-6=-5x6;(2)y'=(𝑥35)'=(𝑥35)'=35𝑥-25=35𝑥25;(3)y'=3xln3;(4)y'=1x𝑙𝑛2.反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式求导时,先将其转化为指数式的形式.典例透析题型一题型二导数公式的应用【例2】求曲线y=sinx在点Pπ2,1处的切线方程.分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜式写出切线方程即可.解∵y'=(sinx)'=cosx,∴y'|𝑥=π2=cosπ2=0.∴所求直线方程为y-1=0,即y=1.典例透析题型一题型二【例3】已知点P(e,a)在曲线f(x)=lnx上,直线l是以点P为切点的切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是自然对数的底数)分析因所求直线与直线l垂直,故其斜率乘积为-1.可利用导数公式求出直线l的斜率k,从而可得所求直线的斜率;点P在曲线上可求得a,然后利用点斜式写出所求直线的方程.解∵f'(x)=1𝑥,∴kl=f'(e)=1e.由题意知所求直线斜率为-e.∵点P(e,a)在曲线f(x)=lnx上,∴a=lne=1.故所求直线方程为y-1=-e(x-e),即ex+y-e2-1=0.典例透析题型一题型二反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤:①求切点处的导数即为切线的斜率;②由直线方程的点斜式写出切线方程.典例透析1函数y=cosπ4的导数为.答案:02函数y=x23的导数为.答案:23x33函数y=log3x在x=1处的导数为.解析:∵y'=1x𝑙𝑛3,∴y'|x=1=1𝑙𝑛3.答案:1ln34以曲线y=ex上的点P(0,1)为切点的切线方程为.答案:y=x+1典例透析5已知直线l与直线3x-y+2=0平行,且与曲线y=x3相切,求直线l的方程.分析由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出切线方程.解设切点为(a,b).∵y'=3x2,∴kl=y'|x=a=3a2.又∵直线l与直线3x-y+2=0平行,∴3a2=3,∴a=±1.当a=1时,b=1,此时直线l的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0;当a=-1时,b=-1,此时直线l的方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0,∵该直线为已知直线,故舍去.∴直线l的方程为3x-y-2=0.典例透析