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-1-3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义目标导航1.了解导数概念的实际背景.2.知道瞬时变化率就是导数.3.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.知识梳理1.瞬时变化率设函数y=f(x)在x0附近有定义,当自变量在x=x0附近改变Δx时,函数值相应地改变Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果当Δx趋近于0时,平均变化率𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥趋近于一个常数l,则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.用趋近于符号“→”记作当Δx→0时,𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥→l.这时,还可以说,当Δx→0时,函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l.记作“limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=l”.名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.知识梳理【做一做1】一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则质点的初速度为.解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.Δs=s(0+Δt)-s(0)=3(Δt)-(Δt)2,当Δt→0时,3-Δt→3,故质点的初速度为3.答案:3则Δ𝑠Δ𝑡=3-Δt.知识梳理2.某点处的导数函数在x0的瞬时变化率,通常就定义为f(x)在x=x0处的导数,并记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0.于是可写作limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x=f'(x0).【做一做2】函数f(x)=x2在x=1处的导数为.解析:Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=(1+Δ𝑥)2-12Δ𝑥=Δx+2,当Δx→0时,Δx+2→2,故所求导数为2.答案:2知识梳理3.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x处导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f'(x),于是在区间(a,b)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为f'(x)(或yx'、y').导函数通常简称为导数.如不特别指明求某一点的导数,求导数指的就是求导函数.名师点拨函数f(x)在x0处可导,是指当Δx趋近于0时,Δ𝑦Δ𝑥趋近于某个常数(极限存在),如果Δ𝑦Δ𝑥不趋近于某个常数(极限不存在),就说函数在点x0处不可导,也说无导数.知识梳理【做一做3】函数f(x)=x2的导数为.解析:求函数f(x)=x2的导数就是求其在其定义域内任一点x处的导数.当Δx→0时,2x+Δx→2x,故函数f(x)=x2的导数为2x,即f'(x)=2x.答案:2xΔ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥=(𝑥+Δ𝑥)2-𝑥2Δ𝑥=2x+Δx,知识梳理4.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率为f'(x0),相应的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).名师点拨如果函数在x0处的导数不存在,那么说明斜率不存在,此时切线方程为x=x0.【做一做4】曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为.解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处的导数.答案:4因此其斜率k=limΔ𝑥→0(2+𝛥x)2-22𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(Δx+4)=4.重难聚焦1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数?剖析:(1)求函数值的改变量Δy;(2)求平均变化率Δ𝑦Δ𝑥;(3)取极限得导数f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x.2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系?剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量.(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f'(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f'(x).(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0处的函数值,即f'(x0)=f'(x)|𝑥=𝑥0.重难聚焦3.“Δx→0”的意义.剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,但始终有Δx≠0.典例透析题型一题型二题型三题型四导数的定义【例1】已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.分析:利用函数y=f(x)在点x0处可导的条件,可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题.导数定义中增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也应与之相对应.(1)limΔ𝑥→0f(x0-𝛥x)-f(x0)𝛥x;(2)𝑙𝑖𝑚h→0𝑓(𝑥0+ℎ)-𝑓(𝑥0-ℎ)2ℎ.典例透析题型一题型二题型三题型四反思解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决.解(1)原式=limΔ𝑥→0f(x0-𝛥x)-f(x0)-(-𝛥x)=-𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0-Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)-Δ𝑥(Δx→0时,-Δx→0)=-f'(x0).(2)原式=limℎ→0f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)2h=12𝑙𝑖𝑚h→0f(x0+h)-f(x0)h+𝑙𝑖𝑚h→0𝑓(𝑥0)-𝑓(𝑥0-ℎ)ℎ=12[f'(x0)+f'(x0)]=f'(x0).典例透析题型一题型二题型三题型四求导数【例2】已知函数y=𝑥,求y',y'|x=1.分析按求导数的步骤求解即可,但要注意变形的技巧.解∵Δy=Δ𝑥+𝑥−𝑥,∴Δ𝑦Δ𝑥=Δ𝑥+𝑥-𝑥Δ𝑥=Δ𝑥(Δ𝑥+𝑥+𝑥)Δ𝑥=1Δ𝑥+𝑥+𝑥.∴y'=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→01Δ𝑥+𝑥+𝑥=12𝑥.∴y'|x=1=12.反思函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0处的导数是函数的导数在x=x0处的函数值.分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会.典例透析题型一题型二题型三题型四利用导数求曲线的切线方程【例3】求曲线y=1𝑥在点13,3处的切线的斜率,并写出切线方程.分析先利用导数的几何意义求斜率,然后用点斜式写出直线方程.解∵y'=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→01𝑥+Δ𝑥-1𝑥Δ𝑥=limΔ𝑥→0-1x2+x𝛥x=-1x2,∴曲线在点13,3处的切线的斜率为k=y'|x=13=-9.∴切线方程为y-3=-9𝑥-13,即9x+y-6=0.典例透析题型一题型二题型三题型四反思(1)求曲线y=f(x)在某点处的切线方程的一般步骤:①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0);②根据点斜式得切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0).注意(x0,y0)为曲线上的点并且是切点.(2)函数f(x)在点x0处有导数,则在该点处曲线f(x)必有切线,且导数值是该切线的斜率;反之,不成立.例如,在点x=0处有切线,但它不可导.f(x)=𝑥典例透析题型一题型二题型三题型四易错题型【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线的方程.错解∵函数y=x2的导数为y'=2x,∴y'|x=3=2×3=6.∴切线方程为y-5=6(x-3),即y=6x-13.错因分析没有注意到点P不在曲线上,点P不是切点,错解中把点P当成了切点,从而导致错误.典例透析题型一题型二题型三题型四正解函数y=x2的导数为y'=2x.设所求切线的切点为A(x0,y0),则y0=𝑥02,切线斜率为y'|𝑥=𝑥0=2x0.∵切线过点P(3,5)和A(x0,y0)两点,∴其斜率为𝑦0-5𝑥0-3=𝑥02-5𝑥0-3,∴2x0=𝑥02-5𝑥0-3,解得x0=1或x0=5,从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为2x0=10.∴所求切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)或y-5=10(x-25),即y=2x-1或y=10x-245.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别,在点P处的切线,点P必为切点;求过点P的切线,点P未必是切点,点P也不一定在已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体会.若点P在曲线上,要分点P是切点和不是切点两种情况解决.典例透析1设函数f(x)可导,则limΔ𝑥→0f(1+𝛥x)-f(1)2𝛥x等于()A.f'(1)B.2f'(1)C.12f'(1)D.f'(2)解析:原式=12𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=12f'(1).答案:C2设函数f(x)可导,则lim𝑚→0f(x0+m)-f(x0-m)m等于()A.2f'(x0)B.f'(x0)C.12f'(x0)D.f'(m)解析:原式=𝑙𝑖𝑚m→0𝑓(𝑥0+𝑚)-𝑓(𝑥0)+𝑓(𝑥0)-𝑓(𝑥0-𝑚)𝑚=lim𝑚→0𝑓(𝑥0+𝑚)-𝑓(𝑥0)𝑚+lim𝑚→0𝑓(𝑥0)-𝑓(𝑥0-𝑚)𝑚=f'(x0)+f'(x0)=2f'(x0).答案:A典例透析3函数f(x)=1𝑥在x=1处的导数是.解析:Δy=11+Δ𝑥−11=-Δ𝑥1+Δ𝑥,Δ𝑦Δ𝑥=-11+Δ𝑥,f'(1)=limΔ𝑥→0-11+𝛥x=-𝑙𝑖𝑚𝛥x→011+Δ𝑥=-1.答案:-14曲线y=x2在点P(x0,y0)处的切线的斜率为2,则x0=.答案:1典例透析5试求过点P(0,-1)且与曲线y=f(x)=x2+3相切的直线方程.分析点P不在曲线上,可设切点为A(x0,y0).切线的斜率k=f'(x0),又k=𝑦0-(-1)𝑥0-0=𝑦0+1𝑥0,利用二者相等列出方程即可解决.解函数y=f(x)=x2+3的导数为y'=2x.设切点为A(x0,y0),则y0=𝑥02+3,切线的斜率为y'|𝑥=𝑥0=2x0.∵切线过点P(0,-1)和A(x0,y0)两点,∴其斜率为𝑦0+1𝑥0=𝑥02+4𝑥0.∴2x0=𝑥02+4𝑥0,解得x0=2或x0=-2.从而切点A的坐标为(2,7)或(-2,7).当切点为(2,7)时,切线的斜率为2x0=4;当切点为(-2,7)时,切线的斜率为2x0=-4.∴所求切线方程为y-7=4(x-2)或y-7=-4(x+2),即y=4x-1或y=-4x-1.典例透析