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-1-3.1导数-2-3.1.1函数的平均变化率目标导航1.了解函数的平均变化率.2.会求一些简单函数的平均变化率.知识梳理1.直线的斜率k、倾斜角α及直线上两点坐标之间的关系设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐标为(x1,y1)(x0≠x1),自变量x的改变量x1-x0记为Δx,函数值的改变量y1-y0记为Δy,即Δx=x1-x0,Δy=y1-y0.直线AB的倾斜角为α,斜率为k,则有k=tanα=𝑦1-𝑦0𝑥1-𝑥0=Δ𝑦Δ𝑥.【做一做1】直线l过点A(3,6)和点B(4,7),求直线l的斜率k.解k=7-64-3=1.知识梳理2.平均变化率已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义,令Δx=x-x0,Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当Δx≠0时,比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率.名师点拨(1)Δx和Δy是整体符号而不是乘积,它们分别表示自变量的改变量和函数值的改变量;(2)Δy与Δx是对应的,当Δx=x-x0时,Δy=y-y0.它们可正可负,但Δx≠0,Δy可为0.𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥=Δ𝑦Δ𝑥知识梳理【做一做2】若函数f(x)=x2的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δ𝑦Δ𝑥=.解析先算Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx,再算Δ𝑦Δ𝑥=Δx+2.答案Δx+2重难聚焦1.对平均变化率概念的理解.剖析:(1)函数f(x)在x0处有定义;(2)x是x0附近的任意一点,即Δx=x-x0≠0,Δx可正可负,并且它的绝对值是一个较小的正数;(3)改变量的对应:若Δx=x-x0,则Δy=f(x)-f(x0),而不是Δy=f(x0)-f(x);(4)平均变化率可正可负也可为零.2.对平均变化率的意义的认识.剖析:函数的平均变化率可以体现出函数的变化趋势,增量Δx越小,越能准确体现函数的变化情况.典例透析题型一题型二平均变化率的概念【例1】在平均变化率的定义中对自变量的增量Δx的要求是()A.大于零B.小于零C.等于零D.不等于零解析:由平均变化率的定义知Δx≠0.答案:D典例透析题型一题型二求函数的平均变化率【例2】试比较正弦函数y=sinx在x=0和x=π2附近的平均变化率的大小.分析先求出正弦函数在x=0和x=π2附近的平均变化率,再比较大小.解当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为k1=sinΔ𝑥-sin0Δ𝑥=sinΔ𝑥Δ𝑥.当自变量从π2变到Δx+π2时,函数的平均变化率为k2=sinπ2+Δ𝑥-sinπ2Δ𝑥=cosΔ𝑥-1Δ𝑥,由于是在x=0和x=π2的附近的平均变化率,可知Δx较小,但Δx既可为正,又可为负.当Δx0时,k10,k20,此时有k1k2.典例透析题型一题型二当Δx0时,k1-k2=sinΔ𝑥Δ𝑥−cosΔ𝑥-1Δ𝑥=sinΔ𝑥-cosΔ𝑥+1Δ𝑥=2sinΔ𝑥-π4+1Δ𝑥.∵Δx0,∴Δx-π4-π4,∴sinΔ𝑥-π4-22.从而有2sinΔ𝑥-π4+10,∴k1-k20,即k1k2.综上可知,正弦函数y=sinx在x=0附近的平均变化率大于在x=π2附近的平均变化率.典例透析题型一题型二反思(1)求函数f(x)的平均变化率的一般步骤:①计算函数值的改变量:Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0);②计算自变量的改变量:Δx=x-x0;③计算平均变化率:.(2)比较平均变化率哪一个大,实际上是比较大小的问题,应按作差法或作商法的步骤进行判断,关键是对差的符号进行判断.Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥典例透析1在平均变化率的定义中对函数值的改变量Δy的要求是()A.大于零B.小于零C.等于零D.可正可负可为零答案:D2在平均变化率的定义中,函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的对应关系是指()A.当Δx=x-x0时,Δy=f(x)-f(x0)B.当Δx=x-x0时,Δy=f(x0)-f(x)C.当Δx=x0-x时,Δy=f(x)-f(x0)D.以上答案都不正确答案:A典例透析3已知函数f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则=()A.2B.2ΔxC.Δx+2D.(Δx)2+2解析:先算Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+1-12-1=(Δx)2+2(Δx),再算=Δx+2,从而选C.答案:C4函数f(x)=x2+1在2到2.5之间的平均变化率为.答案:4.5Δ𝑦Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑥典例透析5函数f(x)=2x2+1在x=1附近的平均变化率在x=3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”).解析:先求x=3附近的平均变化率k1,k1=Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(3+Δ𝑥)-𝑓(3)Δ𝑥=2(3+Δ𝑥)2+1-2×32-1Δ𝑥=2Δx+12;再求x=1附近的平均变化率k2,k2=Δ𝑦Δ𝑥=2Δx+4.因为k1-k2=2Δx+12-2Δx-4=80,所以填“小于”.答案:小于典例透析