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-1-3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-2-3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.了解二元一次不等式(组)的概念.2.理解二元一次不等式(组)解集的几何意义.会用二元一次不等式(组)表示平面区域.3.会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.二元一次不等式(组)的概念(1)二元一次不等式是指含有两个未知数,且未知数的最高次数是1的整式不等式.二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数,且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组.(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x和y构成的有序数对(x,y)构成的集合.(3)二元一次不等式的一般形式为Ax+By+C0或Ax+By+C0.【做一做1】完成一项装修工程,请木工需付工资每人200元,请瓦工需付工资每人160元,现有工人工资预算8000元,设木工x人,瓦工y人,则x,y满足的约束条件是.答案:200𝑥+160𝑦≤8000,𝑥∈N+,𝑦∈N+ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.二元一次不等式表示的平面区域(1)直线l:Ax+By+C=0,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面.开半平面与l的并集叫做闭半平面.以不等式解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的区域或不等式的图象.(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质:直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反,一侧都大于0,另一侧都小于0.归纳总结我们可以在直线l的某一侧任取一点,检验其坐标是否满足二元一次不等式.如果满足,则该点所在的这一侧区域就是所求的区域;否则l的另一侧就是所求的区域.显然,如果直线不过原点,则用原点的坐标进行判断,比较方便.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-1】图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是()A.x+y-10B.x+y-10C.x-y-10D.x-y-10答案:B【做一做2-2】以下各点在3x+2y6表示的平面区域内的是.①(0,0);②(1,1);③(0,2);④(2,0).答案:①②③ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.二元一次不等式组表示的平面区域在平面直角坐标系中,二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的公共部分.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3】不等式组所表示的平面区域是()𝑥-𝑦+5≥0,𝑥+𝑦+10ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航解析:不等式x-y+5≥0表示的区域为直线x-y+5=0及其右下方的区域,不等式x+y+10表示的区域为直线x+y+1=0右上方的区域,故不等式组表示的平面区域为选项D.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航二元一次不等式表示的平面区域的判定方法剖析:方法一:第一步,直线定边界,画出直线Ax+By+C=0,当不等式中含有等号时,直线画成实线,否则画成虚线.第二步,特殊点定平面区域,在坐标平面内取一个特殊点,当C≠0时,常取原点(0,0).若原点满足不等式,则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域;若原点不满足不等式,则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域.当C=0时,可考虑把点(1,0)或(0,1)作为测试点.口诀如下:直线定界,特殊点定域.方法二:Ax+By+C0,当B0时表示区域为直线上方区域;当B0时表示区域为直线下方区域.Ax+By+C0,当B0时表示区域为直线下方区域,当B0时表示区域为直线上方区域.概括为“B”与“不等号”同向在“上方”,“B”与“不等号”反向在“下方”.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航知识拓展平面内任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧、异侧的充要条件:由于直线同一侧的点的坐标(x,y)使Ax+By+C的值具有相同的符号,且一侧为正,另一侧必为负,因而直线同一侧的点使Ax+By+C的值的符号相同,直线不同侧的点使Ax+By+C的值的符号相反,因而我们有以下的结论:P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧⇔(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0;P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧⇔(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五二元一次不等式表示平面区域【例1】在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1)x-y+10;(2)x+2y-4≤0.分析:本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题,先画出直线,再用特殊点确定不等式表示的平面区域.解:(1)画出直线l1:x-y+1=0(虚线),取原点O(0,0)代入x-y+1,得10,不等式成立.所以O(0,0)在x-y+10表示的平面区域内,故x-y+10表示的平面区域就是直线l1右下方的区域.画出区域如图①所示的阴影部分(不包括直线l1上的点).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(2)画出直线l2:x+2y-4=0(实线).取原点O(0,0)代入x+2y-4,得-40,不等式成立.所以x+2y-4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域.画出区域如图②所示的阴影部分(包括直线l2上的点).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思由于二元一次不等式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)表示的平面区域一定是直线Ax+By+C=0的某一侧.要断定究竟是哪一侧,可以取直线Ax+By+C=0某侧的一点,将它的坐标代入不等式,如果不等式成立,那么这一侧就是该不等式表示的平面区域;如果不等式不成立,那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域.如果直线不通过原点,一般取原点(0,0)来进行判断.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】画出满足下列条件的点表示的区域.(1){(x,y)|x-20,y∈R};(2)y≥x+3.解:(1)表示平面内点的集合,如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(2)①先画出直线y=x+3,由于直线上的点满足y≥x+3,故将其画成实线.②取原点(0,0),代入y-x-3中,得0-0-30,所以原点(0,0)不在不等式y≥x+3表示的平面区域内,则不等式表示的平面区域如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三二元一次不等式组表示平面区域【例2】画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面区域.分析:此不等式为二元二次不等式,看似无从下手,注意到不等号右边为0,左边为两因式乘积,易联想到利用“两数相乘,异号得负”的法则,将其转化为两个二元一次不等式组.解:此不等式可转化为𝑥+2𝑦+1≥0,𝑥-𝑦+4≤0或𝑥+2𝑦+1≤0,𝑥-𝑦+4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域,这两个平面区域的并集即为所求的平面区域,如图所示(阴影部分).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三反思在画二元一次不等式组所表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可,其步骤为(1)画线;(2)定侧;(3)求“交”;(4)表示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】画出不等式组𝑥+𝑦≤5,𝑥-2𝑦3,𝑥+2𝑦≥0表示的平面区域.解:不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0上及其左下方的区域.不等式x-2y3表示直线x-2y-3=0右下方的区域.不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0上及其右上方的区域.所以,不等式组表示的平面区域如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五根据平面区域写出不等式(组)【例3】将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.分析:观察图形,先写出边界直线,并确定虚实,然后写出不等式.解:(1)易知直线方程为x=-1,题图中阴影部分的点的横坐标都小于或等于-1,故不等式为x≤-1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五(2)由截距式,得直线方程为𝑥2+𝑦1=1,即y=-12x+1.因为0-12×0+1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y-12x+1,即x+2y-20表示.(3)易知直线斜率为1,过点(1,0),其方程为y=x-1.因为00-1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式yx-1,即x-y-10表示.反思根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤:第一步:确定直线方程,根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程;第二步:在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向,写出对应平面区域的二元一次不等式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】用不等式组表示右图中的阴影部分.解:∵直线AC在x轴、y轴上的截距分别为-5和5,∴直线AC的方程𝑥-5+𝑦5=1,即x-y+5=0;显然直线BC的方程为x=3,即x-3=0;直线AB过原点和点B(3,-3),∴直线AB的方程为y=-x,即x+y=0.将点(1,0