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-1-3.3一元二次不等式及其解法目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系,能借助二次函数的图象解一元二次不等式.2.能利用一元二次不等式解决相关的实际问题,并会设计求解一元二次不等式的程序框图.3.了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.一元二次不等式的概念形如ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(其中a≠0,a,b,c均为常数)的不等式叫做一元二次不等式.用文字表述为:一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.【做一做1】已知不等式:①x20;②-x2-2x≤15;③x3-5x+60;④x2-y0.其中一元二次不等式的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系设f(x)=ax2+bx+c(a0)Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=f(x)的图象f(x)=0的根有两个不相等的实根x1,x2,且x1x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根f(x)0的解集{x|xx1或xx2}x|x≠-b2aRf(x)0的解集{x|x1xx2}⌀⌀ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航归纳总结对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况,常用口诀是:大于取两边,小于取中间.即:一个前提:“a0”和四句话“根上等于零,根间小于零,根外大于零,无根大于零”.对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解.我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-1】不等式x2-2x+10的解集是()A.RB.{x|x∈R,且x≠1}C.{x|x1}D.{x|x1}答案:B【做一做2-2】不等式-6x2-x+2≤0的解集是.解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0,6x2+x-2=0的两根为x1=-23,x2=12,故6x2+x-2≥0的解集为𝑥|𝑥≤-23或𝑥≥12.答案:𝑥|𝑥≤-23或𝑥≥12ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.用程序框图描述求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的算法过程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3】函数y=f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集是.答案:⌀ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四一、借助函数图象解不等式的原理分析剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图象.因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上的点的坐标的意义也是一样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的点的纵坐标小于0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集.所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式.当然,对于任意函数y=f(x),只要能画出它的图象,那么就可以解不等式f(x)0或f(x)0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四知识拓展1.如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R,则有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是R,则有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0.2.如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是⌀,则有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是⌀,则有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四二、简单的一元高次不等式的解法剖析:一元高次不等式f(x)0用数轴穿根法(或称根轴法,区间法)求解,其步骤是:(1)将f(x)最高次项的系数化为正数;(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积;(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过);(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集.即:f(x)0,其中f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak,且f(x)能分解为若干个一次因式的积a0(x-x1)(x-x2)…(x-xk)0,其中a00,x1x2…xk-1xk,如图所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四这k个值将数轴分为(k+1)个区间(xk,+∞),(xk-1,xk),(xk-2,xk-1),…,这(k+1)个区间从右到左依次编号为第1,2,3,…,k+1号,那么f(x)0的解集为第1,3,5,…奇数号区间的并集.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四三、分式不等式的解法剖析:分母中含有未知数,且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式,解分式不等式的基本思路是将分式不等式等价转化为整式不等式或整式不等式组.常见的四种形式的分式不等式转化方法如下表所示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四分式不等式同解变形1同解变形2f(x)g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)0,g(x)0或f(x)0,g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)0,g(x)0或f(x)0,g(x)0f(x)g(x)0⇔f(x)g(x)0f(x)g(x)≥0f(x)≥0,g(x)0或f(x)≤0,g(x)0f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0,g(x)≠0f(x)g(x)≤0f(x)≥0,g(x)0或f(x)≤0,g(x)0f(x)g(x)≤0⇔f(x)g(x)≤0,g(x)≠0ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三四四、教材中的“?”1.由(1)和(2)的解法,你能否解不等式𝑥+2𝑥-3≥0,𝑥+2𝑥-3≤0.剖析:(1)𝑥+2𝑥-3≥0相当于𝑥+2≥0,𝑥-30或𝑥+2≤0,𝑥-30,即𝑥≥-2,𝑥3或𝑥≤-2,𝑥3,得x3或x≤-2.(2)𝑥+2𝑥-3≤0相当于𝑥+2≥0,𝑥-30或𝑥+2≤0,𝑥-30,即𝑥≥-2,𝑥3或𝑥≤-2,𝑥3,得-2≤x3.2.不等式x2+4x+4≥0的解集是什么?x2+4x+4≤0的解集是什么?剖析:x2+4x+4≥0相当于(x+2)2≥0,所以不等式的解集为R.x2+4x+4≤0相当于(x+2)2≤0,所以不等式的解集为{x|x=-2}.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五一元二次不等式的概念【例1】①x2+x+10,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+10,④mx2-5x+10,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是.(请把正确的序号都填上)解析:①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,⑥与④不同,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,故答案为①②⑥.答案:①②⑥反思当所给不等式的二次项系数含字母时,要注意二次项系数是否为零,这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?并说明理由.(1)ax20;(2)x3+5x-6≥0;(3)-x-x2≤0;(4)x2+3x0;(5)mx2-5y0;(6)ax2+bx+c≤0;(7)x-0.1𝑥ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:题号是否是一元二次不等式理由(1)不是a=0时,不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m=0时,为一元一次不等式.m≠0时,含有x,y两个未知数(6)不是a=0时,x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三一元二次不等式的解法【例2】不等式x2+x-20的解集为.解析:由x2+x-20,即(x+2)(x-1)0,解得-2x1,故原不等式的解集为{x|-2x1}.答案:{x|-2x1}反思在具体求解一个一元二次不等式的过程中,当所给不等式是非标准不等式形式时,应先转化为标准形式,再密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解.这种方法体现了“化归”思想的运用,要注意体会.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】解不等式-x2+2x-230.解:∵-x2+2x-230,∴3x2-6x+20,∴𝑥-1-33𝑥-1+330,∴1-33x1+33,故原不等式的解集为𝑥1-33𝑥1+33.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五