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-1-3.2均值不等式目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.探索并理解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义.2.会用均值不等式解决简单的问题.3.掌握运用均值不等式(a,b0)求最值的常用方法及需注意的问题.𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.重要不等式:对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.归纳总结1.重要不等式成立的条件是a,b∈R.它既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此应用范围较广.2.等号成立的条件是当且仅当a=b,即当a=b时,等号成立;反之,等号成立时有a=b.【做一做1】不等式a+1≥2(a0)中等号成立的条件是()A.a=2B.a=1C.a=D.a=0答案:B12𝑎ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.(1)均值定理:如果a,b∈R+,那么,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式也叫基本不等式.𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏(2)对任意两个正实数a,b,数𝑎+𝑏2叫做a,b的算术平均值,数𝑎𝑏叫做a,b的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.名师点拨公式变形:(1)a+b≥2𝑎𝑏,ab≤𝑎+𝑏22(a,b0),当且仅当a=b时,等号成立.(2)a+1𝑎≥2(a0),当且仅当a=1时,等号成立.(3)𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-1】若x0,则x+的最小值为.2𝑥解析:x0⇒x+2𝑥≥22,当且仅当x=2𝑥,即x=2时,等号成立.答案:22【做一做2-2】已知若0x,则函数y=x(1-3x)的最大值是.13解析:∵0x13,∴1-3x0.∴y=x(1-3x)=13·3x(1-3x)≤133𝑥+(1-3𝑥)22=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,等号成立.∴当x=16时,函数取得最大值112.答案:112ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.已知x,y都为正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值14S2.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2𝑃.名师点拨1.应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.2.应用上述性质时,有时需先配凑成和或积为定值的情况,再应用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3】已知x,y都是正数,(1)若xy=15,则x+y的最小值是;(2)若x+y=15,则xy的最大值是.解析:(1)当xy=15时,x+y≥2𝑥𝑦=215,当且仅当x=y=15时,等号成立,所以x+y的最小值为215;(2)当x+y=15时,𝑥𝑦≤𝑥+𝑦2=152,所以xy≤2254,当且仅当x=y=152时,等号成立,所以xy的最大值为2254.答案:(1)215(2)2254ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析:(1)a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误答案.例如,当x0时,函数f(x)=x+1𝑥≥2𝑥×1𝑥=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+1-2=-522,很明显这是一个错误的答案.其原因是当x0时,不能直接用均值不等式求f(x)=x+1𝑥的最值.因此,利用均值不等式求最值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当x0时,-x0,则f(-x)=-f(x)=-x+1-𝑥≥2(-𝑥)×1-𝑥=2,此时有f(x)≤-2.因此,当所求最值的代数式中的各项不都是正数时,应利用变形,把它转化为各项都是正数的代数式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二(2)对于正数a,b,当ab是定值时,可以求a+b的最值;当a+b是定值时,可以求ab的最值.如果ab和a+b都不是定值,那么就会得出错误答案.例如,当x1时,函数f(x)=x+1𝑥-1≥2𝑥𝑥-1,所以函数f(x)的最小值是2𝑥𝑥-1.由于2𝑥𝑥-1是一个与x有关的代数式,很明显这是一个错误的答案.其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件:ab与a+b有一个是定值.其实,当x1时,有x-10,则函数f(x)=x+1𝑥-1=(𝑥-1)+1𝑥-1+1≥2(𝑥-1)×1𝑥-1+1=3.因此,当ab与a+b没有一个是定值时,通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二(3)等号能够成立,即存在正数a,b使均值不等式两边相等,也就是存在正数a,b使得𝑎𝑏=𝑎+𝑏2.如果忽视这一点,就会得出错误答案.例如,当x≥2时,函数f(x)=x+1𝑥≥2𝑥×1𝑥=2,所以函数f(x)的最小值是2.很明显x+1𝑥中的各项都是正数,积也是定值,但是等号成立的条件是当且仅当x=1𝑥,即x=1,而函数的定义域是[2,+∞),所以这是一个错误的答案.其原因是均值不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用均值不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.利用函数单调性的定义可以证明,当x≥2时,函数f(x)=x+1𝑥是增函数,所以函数f(x)的最小值是f(2)=2+12=52.因此在使用均值不等式求最值时,上面三个条件缺一不可,通常将这三个条件总结成口诀:一正、二定、三相等.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2中,a,b0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值.𝑎𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五利用均值不等式求最值【例1】已知x2,求函数f(x)=x+4𝑥-2的最大值.分析:将x+4𝑥-2等价转化为-2-𝑥+42-𝑥+2即可.解:∵x2,∴2-x0,∴f(x)=x+4𝑥-2=-(2-𝑥)+42-𝑥+2≤-2(2-𝑥)42-𝑥+2=-2,当且仅当2-x=42-𝑥,得x=0或x=4(舍去),即x=0时,等号成立.故f(x)=x+4𝑥-2的最大值为-2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思1.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题突破口.定值找到还要看“=”是否成立,不管题目是否要求指出等号成立的条件,都要验证“=”是否成立.2.利用均值不等式求最值时,常用添项和拆项的方法,目的是使积(和)产生定值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】当x-1时,求f(x)=x+1𝑥+1的最小值.分析:由x-1知x+10,变x=x+1-1,此时x+1与1𝑥+1的积为常数.解:∵x-1,∴x+10.∴f(x)=x+1𝑥+1=x+1+1𝑥+1-1≥2(𝑥+1)1(𝑥+1)-1=1,当且仅当x+1=1𝑥+1,即x=0时,等号成立,∴f(x)min=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三利用均值不等式比较大小【例2】若a≥b0,试比较a,𝑎2+𝑏22,𝑎+𝑏2,𝑎𝑏,21𝑎+1𝑏,b的大小.分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.解:∵a≥b0,∴𝑎2+𝑏22≤𝑎2+𝑎22=a.∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏22.又a0,b0,∴𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏22=𝑎+𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三∵1𝑎+1𝑏2≥1𝑎·1𝑏,∴𝑎𝑏≥21𝑎+1𝑏.∵21𝑎+1𝑏-b=𝑏(𝑎-𝑏)𝑎+𝑏≥0,∴21𝑎+1𝑏≥b.∴a≥𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏≥21𝑎+1𝑏≥b.反思均值不等式a+b≥2(a,b0)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具,要注意不等式成立的条件,它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题.𝑎𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】若0a1,0b1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是()𝑎𝑏A.a2+b2B.2C.2abD.a+b𝑎𝑏解析:方法一(筛选法):∵0a1,0b1,a≠b,∴a+b2,a2+b22ab.∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又0a1,0b1,∴a(a-1)0,b(b-1)0,∴a2+b2-(a+b)0,即a2+b2a+b,∴a+b最大.𝑎𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三方法二(特殊值法):令a=12,b=14,则a+b=34,2𝑎𝑏=22,2ab=14,a2+b2=516.由于34,22,14,516中34最大,故应选D.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五利用均值不等式证明不等式【例3】已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-