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-1-3.1.2不等式的性质目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.掌握不等式的性质及其推论.2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较,解不等式(组)和不等式证明.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航不等式的性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒ac.(3)加法法则:ab⇒a+cb+c.推论1a+bc⇒ac-b;推论2ab,cd⇒a+cb+d.(4)乘法法则:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc.推论1ab0,cd0⇒acbd;推论2ab0⇒anbn(n∈N+,n1);推论3ab0⇒𝑎n𝑏𝑛(n∈N+,n1).名师点拨在不等式的基本性质中,在不等式的两边同乘(或除以)同一个数时,必须要确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1】已知ab,则下列各式中正确的个数是()①acbc;②acbc;③(a-b)c0.A.0B.1C.2D.3答案:A【做一做2】已知ab,cd,e0,则a+ceb+de.(填“”或“”)答案:【做一做3】已知ab0,c0,则𝑐𝑎𝑐𝑏.(填“”或“”)答案:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二一、不等式的性质的应用误区剖析:使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如:(1)ab,cd⇒a+cb+d,已知的两个不等式必须是同向不等式;(2)ab0,且cd0⇒acbd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且不等式的两边必须为正值;(3)ab0⇒anbn(n∈N+,n1)及ab0⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n∈N+,n1),成立的条件是已知不等式的两边为正值,并且n∈N+,n1,否则结论就不成立.假设去掉b0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,就会出现32(-4)2的错误结论;又若去掉了“n∈N+,n1”这个条件,取a=3,b=2,n=-1,又会出现3-12-1,即1312的错误结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二对于性质4的推论2和推论3,在n取正奇数时,可放宽条件,命题仍成立,即有:ab⇒anbn(n=2k+1,k∈N),ab⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n=2k+1,k∈N).名师点拨1.性质中的a和b可以是实数,也可以是代数式.2.对于性质2,要正确处理带等号的情况,由ab,b≥c或a≥b,bc均可推出ac;而a≥b,b≥c可推出a≥c.3.性质3是不等式移项法则的基础.4.性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据.5.若ab,且ab0,则1𝑎1𝑏.若ab,且ab0,则1𝑎1𝑏,即“同号取倒数,方向改变,异号取倒数,方向不变”.6.若ab,cd,则a-cb-d.7.若ab0,cd0,则𝑎𝑑𝑏𝑐.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二二、教材中的“?”在解一元一次不等式3x-2≤5x+1的过程中,应用了不等式的哪些性质?剖析:不等式的解运用性质3x-2≤5x+1-2x≤3移项:性质3的推论12x≥-3同乘-1:性质4x≥-32同乘12:性质4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五判断真假【例1】下列命题中,一定正确的是()A.若ab,且1𝑎1𝑏,则a0,b0B.若ab,b≠0,则𝑎𝑏1C.若ab,且a+cb+d,则cdD.若ab,且acbd,则cd解析:对选项A,∵1𝑎1𝑏,∴𝑏-𝑎𝑎𝑏0.又ab,∴b-a0,∴ab0,∴a0,b0.对选项B,当a0,b0时,有𝑎𝑏1,故B错.对选项C,当a=10,b=2,c=1,d=3时,虽然10+12+3,但13,故C错.对选项D,当a=-1,b=-2,c=-1,d=3时,有(-1)×(-1)(-2)×3,但-13,故D错.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思运用不等式的性质进行数的大小的判断时,要注意不等式的性质成立的条件,不能弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】对于实数a,b,c,有下列命题:①若ab,则acbc;②若ac2bc2,则ab;③若ab0,则a2abb2;④若cab0,则𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏;⑤若ab,1𝑎1𝑏,则a0,b0.其中真命题的个数是()A.2B.3C.4D.5ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五答案:C解析:①当c=0时,acbc不成立,故①为假命题.②由ac2bc2知abc≠0,故c20,则ab.故该命题是真命题.即a2abb2.故该命题为真命题.④ab0⇒-a-b⇒c-ac-b.∵ca,∴c-a0,∴0c-ac-b.③𝑎𝑏𝑎0⇒a2ab,𝑎𝑏𝑏0⇒abb2,两边同乘1(𝑐-𝑎)(𝑐-𝑏),得1𝑐-𝑎1𝑐-𝑏0.又ab0,∴𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏.故该命题为真命题,故选C.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三应用不等式的性质证明不等式【例2】已知ab0,cd0.求证:𝑎𝑑3𝑏𝑐3.分析:本题考查不等式的性质的应用,首先要看证明不等式需要用到哪几条性质,其次要注意不等式的性质成立的条件是否具备.证明:∵cd0,∴-c-d0.∴0-1𝑐-1𝑑.又ab0,∴-𝑎𝑑-𝑏𝑐0.∴-ad3-𝑏𝑐3,即-𝑎𝑑3-bc3,两边同乘-1,得𝑎𝑑3𝑏𝑐3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三反思1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质,并注意在解题中灵活准确地加以应用.2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】若把【例2】中条件“cd0”改为“cd0”,结论改为,其他条件不变,应该怎样证明?“𝑐𝑏3𝑑𝑎3”证明:∵ab0,∴01𝑎1𝑏,即1𝑏1𝑎0.又cd0,∴𝑐𝑏𝑑𝑎0,∴cb3𝑑𝑎3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五不等式的性质的实际应用【例3】建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变差了?请说明理由.分析:可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,根据题意知ab,且𝑎𝑏≥10%,然后设同时增加的面积为m,得到a+mb+m,用比较法判断𝑎+𝑚𝑏+𝑚与𝑎𝑏的大小即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:变好了.理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据问题的要求可知ab,且≥10%.𝑎𝑏由于𝑎+𝑚𝑏+𝑚−𝑎𝑏=𝑚(𝑏-𝑎)𝑏(𝑏+𝑚)0,于是𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏.又因为𝑎𝑏≥10%,所以𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏≥10%.所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变好了.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思一般地,设a,b为正实数,且ab,m0,则.利用这个不等式,可以解释很多现象,比如bg糖水中有ag糖(ba0),若再添上mg糖(m0,且未达到饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从而带给观众更美的享受.𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】有一所学校原来是长方形布局,市政府对这所学校进行规划,要改成正方形布局,但要求要么保持原面积不变,要么保持原周长不变,那么这所学校选择哪种布局最有利?解:设这所学校原来的长方形布局的长为a,宽为b(a≠b).若保持原面积不变,则规划后的正方形面积为ab.若保持原周长不变,则规划后的正方形周长为2(a+b),所以其正方形的边长为𝑎+𝑏2,其面积为𝑎+𝑏22.由于ab-𝑎+𝑏22=-(𝑎-𝑏)240(a≠b),所以ab𝑎+𝑏22,故保持原周长不变的布局最有利.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五利用不等式的性质求取值范围问题【例4】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析:由可以将a,b用f(-1),f(1)表示,f(-2)=4a-2b也可用f(-1),f(1)表示,然后利用f(-1),f(1)的取值范围求f(-2)的取值范围.𝑓(-1)=𝑎-𝑏,𝑓(1)=𝑎+𝑏,解:由题设f(x)=ax2+bx,得𝑓(1)=𝑎+𝑏,𝑓(-1)=𝑎-𝑏.即2𝑎=𝑓(1)+