2019版高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 3.2 平面与圆柱面的截线课件 新人教A版选修4-1

-1-二平面与圆柱面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过圆柱形水杯中水面的倾斜,感受平面截圆柱的形式,并能证明定理1.2.通过Dandelin双球探求椭圆的性质,体会这种证明问题的方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面α与圆柱OO'的轴斜交,则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1】圆柱形物体的截口是()A.双曲线B.圆C.抛物线D.椭圆或圆解析:当截面与圆柱的底面平行时,截口是圆,否则是椭圆.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.椭圆(1)椭圆组成元素:如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴为2a,短轴为2b,那么焦距2c=2𝑎2-𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12(2)Dandelin双球探究椭圆性质:如图,设球O1,O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α,γ,椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1,l2,α,γ与β所成的二面角为θ,母线与平面β的交角为φ.由于α,β,γ都是确定的,因此交线l1,l2也是确定的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12①当点P在椭圆的任意位置时,过点P作l1的垂线,垂足为点Q,过点P作平面α的垂线,垂足为点K1,连接K1Q,得Rt△PK1Q,则∠QPK1=φ.从而②椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cosφ.我们把直线l1叫做椭圆的一条准线.③椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cosφ,所以l2是椭圆的另一条准线.④记e=cosφ,我们把e叫做椭圆的离心率.有=cos𝜑=定值.𝑃𝐹1𝑃𝑄=𝑃𝐾1𝑃𝑄ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨e的几何意义是椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比.当e越接近于1时,c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,从而b越接近于a,椭圆越接近于圆.当e=0时,c=0,a=b,两个焦点重合,图形就是圆了.可见离心率是刻画椭圆扁圆程度的量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】已知F1和F2是椭圆的焦点,P是椭圆上的任一点,PF1=d1,PF2=d2,则()A.d1+d2是常数B.d1-d2是常数答案:A解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意,知2c=8,故c=4.答案:10C.d1d2是常数D.𝑑1𝑑2是常数【做一做2-2】若椭圆的离心率e=45,焦距为8,则椭圆的长轴长为______.又e=𝑐𝑎,故长轴长2a=2𝑐𝑒=845=10.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-3】椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于()A.6B.8C.10D.3解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意,知2a=10,2b=8,答案:A故a=5,b=4,得2c=2𝑎2-𝑏2=6.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航Dandelin双球探求椭圆性质的过程剖析:通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形,类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得到定理1及有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究,这有助于理解椭圆和下一节的知识.圆柱内嵌入两个球,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且与圆柱和斜截面均相切,这是证明定理的关键.这种方法是数学家Dandelin创立的,故将嵌入的两球称为Dandelin双球.要注意对于Dandelin双球的研究.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一椭圆的度量性质【例1】已知平面α与一圆柱的母线成60°角,则该平面与圆柱截口图形的离心率是()答案:D反思圆柱形物体的斜截口是椭圆,因此,椭圆的度量性质和底面半径、截面与母线的夹角密切相关.A.32B.1C.22D.12解析:平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率e=cos60°=12.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航解析:∵圆柱的底面直径d=12cm,截面与底面成30°,∴椭圆的短轴长2b=d=12cm,椭圆的长轴长2a=𝑑cos30°=83(cm).根据c=𝑎2-𝑏2得,椭圆的半焦距长c=23cm,则椭圆的离心率e=𝑐𝑎=2343=12.题型一题型二题型三【变式训练1】底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,截口是一个椭圆,该椭圆的长轴长,短轴长,离心率为.答案:83cm12cm12ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二探讨椭圆的性质【例2】如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面β内的平行射影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.求证:F1F2=2𝑎2-𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:如图,过点G1作G1H⊥BG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.∴G1H=AB.∵点Q1,Q2分别是点P1,P2的平行射影,∴P1Q1􀰿P2Q2.∴四边形P1Q1Q2P2是平行四边形.∴Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.∴G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,∴G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=BH,∴G2F1-G2F2=G2B-BH.∴F1F2=G2H.在Rt△G1G2H中,G2H=𝐺1𝐺22-𝐺1𝐻2=(2𝑎)2-(2𝑏)2=2𝑎2-𝑏2,故F1F2=2𝑎2-𝑏2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考察Dandelin双球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形及平行射影的性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°β90°),现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切,若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则截线椭圆的离心率为()A.12B.22C.33D.32解析:Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点,圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.答案:B故e=𝑐𝑎=𝑐𝑏2+𝑐2=𝑐2𝑐=22.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:概念不清而致错【例3】如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ(0°θ90°)的平面所截,截面是一个椭圆.当θ=30°时,这个椭圆的离心率为()错解:由题易知,平面与圆柱的截口为椭圆,所以离心率错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,在利用公式e=cosφ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.A.12B.32C.33D.23e=cosθ=cos30°=32,故选B.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:A解析:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的短半轴为R,长半轴为𝑅cos30°=2𝑅3.∵a2=b2+c2,∴c=𝑅3.∴椭圆的离心率为e=𝑐𝑎=12.故选A.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航