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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一轨迹问题求轨迹方程是解析几何中的重点内容,也是难点之一.在高考试题中,往往处在综合题目的第一步,是解答其他步骤的基础,对整个题目的正确解决往往起到举足轻重的作用.由于求轨迹方程时所给的条件多种多样,所以求轨迹方程的方法是灵活的,常用的方法如下:1.直接法当动点直接与已知条件发生联系时,在设曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据题设条件将自然语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标x,y间的关系式(等式)的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.综合应用专题一专题二专题三2.定义法若动点的轨迹的条件符合某种已知曲线的定义,如椭圆、双曲线、抛物线的定义等,则可先设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法叫定义法.利用定义法求轨迹方程时要善于分析元素的几何特征,并与常见曲线的定义相联系.3.代入法若轨迹上的点P(x,y)依赖于另一动点Q(x',y'),而点Q(x',y')又在某已知曲线上,则可列出关于x,y,x',y'的方程组,利用x,y表示出x',y',把x',y'代入已知曲线的方程便得到动点P的轨迹方程,此法称为代入法,也叫转移法或相关点法.4.代换法求弦中点的轨迹方程,常常运用“设而不求”的技巧,通过中点坐标及斜率的代换,达到求出轨迹方程的目的,这种求轨迹方程的方法叫代换法,也有人称之为“点差法”或“设而不求法”.综合应用专题一专题二专题三应用1已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.提示:先根据椭圆的定义,列出关系式,再将其坐标化即可.解:∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,故点F的轨迹方程是y2−𝑥248=1(𝑦≤-1).综合应用专题一专题二专题三应用2已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,求动圆圆心的轨迹方程.提示:先利用两圆内切和外切求得圆心距,再利用椭圆的定义求解.解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r,连接PC1,PC2(如图).则|PC1|=13-r,|PC2|=3+r,所以|PC1|+|PC2|=16.由椭圆的定义知:点P的轨迹是以点C1,C2为焦点的椭圆,其中2c=8,2a=16,所以b2=a2-c2=48,所以动圆圆心的轨迹方程为𝑥264+𝑦248=1.综合应用专题一专题二专题三应用3过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.提示:先找到点P和点Q坐标之间的关系,再利用点Q坐标满足双曲线方程,间接求得点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①又因为PQ垂直于直线x+y=2,所以𝑦-𝑦1𝑥-𝑥1=1,即x-y+y1-x1=0.②联立①②解得𝑥1=32𝑥+12𝑦-1,③𝑦1=12𝑥+32𝑦-1,④因为点Q在双曲线x2-y2=1上,所以𝑥12−𝑦12=1,⑤将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.综合应用专题一专题二专题三专题二圆锥曲线的应用问题椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线,灵活地运用圆锥曲线的定义和性质,可提高解题效率.应用已知F1,F2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的两焦点,𝑃是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线综合应用专题一专题二专题三解析:如图所示,延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,则△APF1是等腰三角形,∴|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.∵点O是线段F1F2的中点,点Q是线段AF1的中点,∴|OQ|=12|𝐴𝐹2|=𝑎.又当点P为椭圆的左、右顶点时也满足题意,∴点Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.答案:A综合应用专题一专题二专题三专题三与圆锥曲线有关的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,现把这类问题的求解策略与方法介绍如下:(1)平面几何法.平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.(2)目标函数法.建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.(3)判别式法.综合应用专题一专题二专题三(4)圆锥曲线定义的应用.①通常运用圆锥曲线的定义求解的题目如下:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求过焦点的弦长、焦半径.②要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验,以提高灵活运用定义解题的能力.综合应用专题一专题二专题三应用1已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为()A.(0,0)B.(1,-22)C.(2,-2)D.12,-2解析:如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,得x=12,所以M'的坐标为12,-2,故选D.答案:D综合应用专题一专题二专题三应用2已知F1,F2为椭圆x2+𝑦22=1的两个焦点,𝐴𝐵是过焦点𝐹2的一条动弦,求△ABF1面积的最大值.提示:△ABF1的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.解:由题意,知|F1F2|=2.经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.故设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则xA+xB=−2𝑘𝑘2+2,𝑥𝐴·xB=−1𝑘2+2,∴|xA-xB|=8(𝑘2+1)𝑘2+2.综合应用专题一专题二专题三𝑆△𝐴𝐵𝐹1=12|𝐹1𝐹2|·|xA-xB|=12×2×22×𝑘2+1𝑘2+2=22×1𝑘2+1+1𝑘2+1≤22×12=2.当𝑘2+1=1𝑘2+1,即k=0时,△ABF1的面积最大,为2.综合应用专题一专题二专题三应用3设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若𝐸𝐷=6𝐷𝐹,求𝑘的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.提示:将四边形AEBF的面积视为△AEB与△AFB(或△BEF与△AEF)面积的和,求得目标函数,应用均值不等式可求最值.综合应用专题一专题二专题三解:(1)依题设得,椭圆的方程为𝑥24+𝑦2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=21+4𝑘2.①由𝐸𝐷=6𝐷𝐹知x0-x1=6(x2-x0),得x0=17(6𝑥2+𝑥1)=57𝑥2=1071+4𝑘2.综合应用专题一专题二专题三由点D在直线AB上知x0+2kx0=2,得x0=21+2𝑘.所以21+2𝑘=1071+4𝑘2,化简得24k2-25k+6=0,解得k=23或k=38.综合应用专题一专题二专题三(2)方法一根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1=|𝑥1+2𝑘𝑥1-2|5=2(1+2𝑘+1+4𝑘2)5(1+4𝑘2),h2=|𝑥2+2𝑘𝑥2-2|5=2(1+2𝑘-1+4𝑘2)5(1+4𝑘2).又|AB|=22+1=5,所以四边形AEBF的面积为S=12|𝐴𝐵|(ℎ1+ℎ2)=12·5·4(1+2𝑘)5(1+4𝑘2)=2(1+2𝑘)1+4𝑘2=21+4𝑘2+4𝑘1+4𝑘2≤22,综合应用专题一专题二专题三当2k=1,即k=12时,上式取等号.所以四边形AEBF面积的最大值为22.方法二由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x20,y2=-y10,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=(𝑥2+2𝑦2)2=𝑥22+4𝑦22+4𝑥2𝑦2≤2(𝑥22+4𝑦22)=22,当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为22.真题放送1234561.(陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析:因为抛物线的准线方程为x=-2,所以抛物线的开口向右,设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则其准线方程为x=−𝑝2,所以−𝑝2=−2,解得p=4.所以抛物线的标准方程为y2=8x.答案:B真题放送1234562.(福建高考)已知双曲线𝑥24−𝑦2𝑏2=1的右焦点与抛物线𝑦2=12𝑥的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.5B.42C.3D.5解析:由双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,知c=𝑝2=3,所以c2=9=4+b2,于是b2=5,所以b=5.因此该双曲线的渐近线的方程为y=±52𝑥,即5𝑥±2𝑦=0.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d=|35|5+4=5.答案:A真题放送1234563.(山东高考)已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的两条渐近线均和圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆𝐶的圆心,则该双曲线的方程为()A.𝑥25−𝑦24=1B.𝑥24−𝑦25=1C.𝑥23−𝑦26=1D.𝑥26−𝑦23=1真题放送123456解析:由题意得,𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的两条渐近线方程为y=±𝑏𝑎𝑥,即bx±ay=0.又圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0).所以a2+b2=32=9,且|3𝑏|𝑎2+𝑏2=2,解得a2=5,b2=4.所以该双曲线的方程为𝑥25−𝑦24=1.答案:A真题放送1234564.(课标全国高考)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3解析:设双曲线的两焦点分别为F1,F2,由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a,在Rt△AF1F2中,∵|AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|=4(𝑎2+𝑐2),∴|AF2|-|AF1|=4(𝑎2+𝑐2)−2𝑎=2𝑎,即3a2=c2,∴e=𝑐𝑎=3.答案:B真题放送1234565.(陕西高考)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±6,所以水面宽26m.答案:26真题放送1234566.(辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1𝑎0,𝑏0上,𝐶的焦距为4