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-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题一圆锥曲线的定义及其应用椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线,教材给出了它们的定义,展示了三类曲线各自的特征及几何性质,它们的定义不仅是推导它们各自的方程和性质的基础,而且也是解题的重要工具.灵活运用定义,可避免很多复杂的计算,提高解题效率.应用1F1,F2是椭圆(ab0)的焦点,P是椭圆上任一点,过焦点F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示此题用基本坐标法求解,运算相当繁琐,而且一时难以理出思路.本题宜采用几何图形的性质来解答.综合应用专题一专题二专题三解析如图所示,延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,则△APF1是等腰三角形,∴|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.∵O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,∴|OQ|=12|AF2|=a.∴点Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.答案A综合应用应用2已知椭圆的方程为(ab0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上不同于长轴端点的任意一点,且满足∠F1PF2=α,求△F1PF2的面积S.提示利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a,在△F1PF2中利用余弦定理又可以得到|PF1|,|PF2|之间的关系,再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积.解由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2.①在△F1PF2中,∠F1PF2=α,由余弦定理,有|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα=4c2.②①-②,得2|PF1|·|PF2|(1+cosα)=4(a2-c2)=4b2,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1∴|PF1|·|PF2|=2𝑏21+cos𝛼.∴△F1PF2的面积为S=12|PF1|·|PF2|·sinα=𝑏2sin𝛼1+cos𝛼.专题一专题二专题三综合应用专题一专题二专题三专题二圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程与性质是高考重点考查的内容,因此对于其方程与性质一定要熟悉.由标准方程确定其性质和由性质确定其方程都要熟练掌握.给出方程研究性质(给出性质求其方程)时,首先确定焦点在哪一个坐标轴上,即确定是哪种形式的方程,然后才能准确研究其性质(准确求其方程).当不能确定方程的形式时,要分情况讨论.综合应用应用1已知抛物线ax2+2y=0,则其焦点坐标为,准线方程为.提示:先把所给抛物线方程化为标准形式,然后写出焦点坐标和准线方程即可.解析将抛物线ax2+2y=0化为标准形式为x2=-2𝑦𝑎,故其焦点坐标是0,-12𝑎,准线方程为y=12𝑎.答案:0,-12𝑎y=12𝑎专题一专题二专题三综合应用应用2双曲线C与椭圆𝑥28+𝑦24=1有相同的焦点,直线y=3x为C的一条渐近线,求双曲线C的方程.提示椭圆𝑥28+𝑦24=1的焦点在x轴上,故可设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),根据已知条件求出a,b即可.解设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,由椭圆𝑥28+𝑦24=1求得两焦点为(-2,0),(2,0),∴对于双曲线C:c=2.又y=3x为双曲线C的一条渐近线,∴𝑏𝑎=3,解得a2=1,b2=3,∴双曲线C的方程为x2-𝑦23=1.专题一专题二专题三综合应用专题一专题二专题三专题三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题是高考对圆锥曲线考查的重点和难点,也是历年考查的热点.直线与圆锥曲线的综合问题包括两大类:①直线与圆锥曲线位置关系的判定;②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点弦问题、范围问题、张角问题、最值问题等(重点考查直线与椭圆的位置关系).提示:求弦所在直线方程,常应用“点差法”.设出直线与椭圆交点的坐标并代入椭圆方程,两式相减可得弦所在直线的斜率,从而求出直线方程.应用1椭圆的一条弦被点P(4,2)所平分,求此弦所在直线方程.𝑥236+𝑦29=1综合应用专题一专题二专题三解设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑥1+𝑥22=4,𝑦1+𝑦22=2,kAB=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1(x2≠x1).且𝑥1236+𝑦129=1,①𝑥2236+𝑦229=1.②由②-①,得𝑥22-𝑥1236+𝑦22-𝑦129=0,所以14(x2+x1)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0,所以84+4·𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=0,所以kAB=-12,所以弦AB所在直线方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0,当x1=x2时,弦AB⊥x轴,AB的中点在x轴上,不可能是点P,所以x+2y-8=0就是弦所在的直线方程.综合应用应用2已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),它的左、右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为点P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标.提示(1)由焦点坐标和离心率可求出a,b.(2)设N(x,t)是直线y=t与椭圆C的右交点,则当圆P与x轴相切时,t=x.专题一专题二专题三综合应用专题一专题二专题三解(1)因为𝑐𝑎=63,且c=2,所以a=3,b=𝑎2-𝑐2=1.所以椭圆C的方程为𝑥23+y2=1.(2)由题意知P(0,t)(-1t1).由𝑦=𝑡,𝑥23+𝑦2=1,得x=±3(1-𝑡2).所以圆P的半径为3(1-𝑡2).当圆P与x轴相切时,|t|=3(1-𝑡2).解得t=±32.所以圆心P的坐标是0,±32.真题放送1(上海高考)对于常数m,n,“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由mx2+ny2=1表示椭圆,可知m0,n0,m≠n,所以m0,n0,且m≠n⇒mn0.而显然mn0m0,n0,且m≠n.答案:B真题放送2(湖南高考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.𝑥220−𝑦25=1B.𝑥25−𝑦220=1C.𝑥280−𝑦220=1D.𝑥220−𝑦280=1解析:∵2c=10,∴c=5.∵点P(2,1)在直线y=𝑏𝑎x上,∴1=2𝑏𝑎.又∵a2+b2=25,∴a2=20,b2=5.故C的方程为𝑥220−𝑦25=1.答案:A真题放送3(山东高考)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:根据抛物线的定义可知|FM|=y0+2,又由圆与准线相交可得y0+24,即y02,故选C.答案:C真题放送4(辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析:过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点A',B',设线段AB的中点为P,点P到准线的距离为|PP'|,如图所示.由抛物线定义:|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=2|PP'|=3,∴|PP'|=32.∴线段AB的中点到y轴的距离为d=|PP'|-14=32−14=54.故选C.答案:C真题放送5(课标全国高考)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为()A.2B.22C.4D.8解析:设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2=1(a0),抛物线的准线为x=-4,且|AB|=43,故可得A(-4,23),B(-4,-23),将点A的坐标代入双曲线方程,得a2=4,故a=2,故实轴长为4.答案:C真题放送6(安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义,可得x1+1=3,∴x1=2.∴A点坐标为(2,±22),∵焦点F(1,0),则直线AB的斜率为k=±22-02-1=±22.∴直线AB的方程为y=±22(x-1).由𝑦2=4𝑥,𝑦=±22(𝑥-1),消去y,得2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=12.∴|BF|=x2+1=32.答案:32真题放送