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-1-2.4.1抛物线的标准方程目标导航1.掌握抛物线的定义,理解焦点、准线方程的几何意义.2.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程.知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.名师点拨抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则点的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.2.抛物线的标准方程方程y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是𝑝2,0;它的准线方程是𝑥=−𝑝2,其中𝑝是焦点到准线的距离.知识梳理【做一做】若抛物线的焦点坐标为(1,0),则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.无法确定解析:因为焦点(1,0)在x轴的正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=4x.故选C.答案:C重难聚焦抛物线是双曲线的一支吗?剖析:虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”,但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.当抛物线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与对称轴近似平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与渐近线近似平行;抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线方程与双曲线方程有很大差别.典例透析题型一题型二题型三抛物线的标准方程【例1】已知焦点在x轴正半轴的抛物线C经过点(2,-4),求抛物线的标准方程.分析:已知抛物线的焦点在x轴正半轴,设出标准方程y2=2px(p0),将点(2,-4)代入求解即可.解:因为焦点在x轴的正半轴上,所以设抛物线方程为y2=2px(p0),将(2,-4)的横、纵坐标代入得p=4,故所求方程为y2=8x.典例透析题型一题型二题型三抛物线定义的应用【例2】过抛物线x=4y2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=5,求线段AB的长.分析:先把方程化为标准方程,即y2=14𝑥,再由抛物线的定义得到答案.解:将抛物线方程x=4y2化为y2=14𝑥,设焦点为F,则|AF|=x1+𝑝2,|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2.又由已知,得p=18.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+𝑝2+𝑥2+𝑝2=x1+x2+p=418.典例透析题型一题型二题型三反思过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦,焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径.已知抛物线y2=2px(p0)上的点M(x0,y0),则过该点的焦半径为x0+𝑝2.典例透析题型一题型二题型三根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程【例3】已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)y2=8x;(2)x=ay2(a0).分析:先将所给方程化为标准形式,求出p,再结合图形,求出焦点坐标与准线方程.解:(1)因为2p=8,所以p=4,开口向右,焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.(2)因为抛物线的方程可化为y2=1𝑎𝑥,所以2p=1𝑎,所以𝑝2=14𝑎.故焦点坐标为14𝑎,0,准线方程为x=−14𝑎.典例透析123451.抛物线y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是()A.𝑎4B.𝑎2C.aD.2a答案:B典例透析123452.抛物线x=4y2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的横坐标是()A.1716B.1516C.−1516D.−1716答案:B典例透析123453.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以满足题意的圆的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,故选D.答案:D典例透析123454.抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是.解析:由抛物线的定义可知,A,B到准线x=−12的距离之和是5,从而线段AB的中点到准线的距离是52,故AB的中点到y轴的距离是52−12=2.答案:2典例透析123455.已知点P(1,-2)在抛物线y2=2px(p0)上,求点P到抛物线焦点的距离.分析:由点P在抛物线上可求得p值,再结合定义求得点P到焦点的距离.解:因为点P在抛物线上,所以(-2)2=2p·1,即p=2.故点P(1,-2)到抛物线焦点的距离为1+𝑝2=1+1=2.典例透析