搜索
-1-2.3.2双曲线的几何性质目标导航1.理解并掌握双曲线的几何性质.2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.知识梳理双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标A1(0,-a),A2(0,a)知识梳理标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质渐近线y=±𝑏𝑎𝑥y=±𝑎𝑏𝑥离心率e=𝑐𝑎,𝑒∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)知识梳理名师点拨与椭圆的标准方程相比较,在双曲线的标准方程中,a,b只限制a0,b0,二者没有大小要求.若ab0,a=b0,0ab,双曲线的离心率受到影响.因为e=𝑐𝑎=1+𝑏𝑎2,故当ab0时,1e2,当a=b0时,e=2(亦称等轴双曲线),当0ab时,e2.知识梳理【做一做1】已知双曲线的方程为2x2-3y2=6,则此双曲线的离心率为()A.32B.52C.153D.253解析:双曲线的方程可化为𝑥23−𝑦22=1,∴a=3,𝑐=5.∴e=153.答案:C知识梳理【做一做2】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则其标准方程为.解析:∵𝑐𝑎=2,𝑐=4,∴a=2,b=23.又双曲线的焦点在x轴,故双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦212=1.答案:𝑥24−𝑦212=1重难聚焦1.对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析:若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1与双曲线𝑥2𝑎'2−𝑦2𝑏'2=±1有相同的渐近线,即两对直线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0与𝑥𝑎'±𝑦𝑏'=0分别重合,则必有𝑎𝑎'=𝑏𝑏'=1𝑘(𝑘0).故a'=ka,b'=kb(k0).反之,易求得双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1与𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1有相同的渐近线y=±𝑏𝑎𝑥,故与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1有相同渐近线的双曲线系方程为𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1,上述方程可简化为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0).因此在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0)求双曲线方程较为方便.重难聚焦2.已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率的方法剖析:设双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎𝑥,其中y=𝑏𝑎𝑥的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x轴上,则e=1cos𝜃;若双曲线的焦点在y轴上,则e=1sin𝜃.显然a,b,c可以看成一个直角三角形的三条边.典例透析题型一题型二题型三题型四已知双曲线方程求其几何性质【例1】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.分析:将双曲线方程变为标准方程,确定a,b,c后求解.解:将9y2-4x2=-36变形为𝑥29−𝑦24=1,即𝑥232−𝑦222=1,所以a=3,b=2,所以c=13.因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(−13,0),(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=𝑐𝑎=133,渐近线方程为y=±𝑏𝑎𝑥=±23𝑥.作出草图如下:典例透析题型一题型二题型三题型四反思求双曲线的几何性质必须先把方程化为标准形式,作几何图形时,应先画出两条渐近线和两个顶点.典例透析题型一题型二题型三题型四已知双曲线的几何性质求双曲线方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y=±3𝑥,且过点𝑀(1,15),求双曲线的方程.分析:应先根据渐近线方程设出双曲线方程,再代入点M的坐标求解.解:渐近线方程为y=±3𝑥的双曲线方程可设为(y+3𝑥)(𝑦−3𝑥)=𝑚(𝑚≠0),即y2-3x2=m(m≠0).将M(1,15)代入上式,得m=12,所以双曲线的方程为y2-3x2=12,即𝑦212−𝑥24=1.反思要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法,即已知渐近线方程为𝑥𝑎±𝑦𝑏=0或y=±𝑏𝑎𝑥时,设双曲线方程为𝑦+𝑏𝑎𝑥𝑦-𝑏𝑎𝑥=𝑚(𝑚≠0).典例透析题型一题型二题型三题型四与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为________.解析:利用渐近线的定义求解.方法一:方程𝑥24−𝑦28=1,即为𝑥222−𝑦2(22)2=1,所以a=2,b=22.所以双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为y=±2𝑥.方法二:令𝑥24−𝑦28=0,即𝑥2+𝑦22=0或𝑥2−𝑦22=0,即y=−2𝑥或y=2𝑥.故双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为y=±2𝑥.答案:y=±2𝑥典例透析题型一题型二题型三题型四反思求双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的渐近线方程,一般有两种方法,即(1)代入y=±𝑏𝑎𝑥,得渐近线方程.(2)令𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=0,得𝑥𝑎±𝑦𝑏=0,即y=±𝑏𝑎𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的离心率【例4】双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的两个焦点分别为𝐹1,𝐹2,如图,以𝐹1𝐹2为边作等边三角形𝑀𝐹1𝐹2.若双曲线恰好平分三角形的另两边,交𝑀𝐹1于点𝐻,交𝑀𝐹2于点𝑁,则双曲线的离心率为()A.3+1B.4+23C.23−2D.23+2典例透析题型一题型二题型三题型四解析:由题意,得|F1N|=3𝑐,|𝑁𝐹2|=𝑐,因为|NF1|-|NF2|=2a,即3𝑐−𝑐=2𝑎,所以e=𝑐𝑎=23-1=3+1.答案:A反思双曲线的离心率e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎2,因此要求离心率,只要找到a,b,c三者之间任意两者的关系式即可.典例透析123451.双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.52,0C.62,0D.3,0解析:由双曲线的方程,可知a2=1,b2=12,则c2=32,从而c=62,所以双曲线的右焦点为62,0.答案:C典例透析123452.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦距为10,点𝑃(2,1)在𝐶的渐近线上,则𝐶的方程为()A.𝑥220−𝑦25=1B.𝑥25−𝑦220=1C.𝑥280−𝑦220=1D.𝑥220−𝑦280=1解析:由2c=10,得c=5,因为点P(2,1)在直线y=𝑏𝑎𝑥上,所以1=2𝑏𝑎.又因为a2+b2=25,所以a2=20,b2=5.故C的方程为𝑥220−𝑦25=1.答案:A典例透析123453.双曲线𝑥225−𝑦216=1的离心率是()A.35B.53C.415D.541解析:利用双曲线的标准方程求得a,b,c,即可求得离心率.答案:C典例透析123454.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线方程为𝑥3+𝑦=0,则此双曲线的离心率为____________.解析:因为渐近线方程为𝑥3+𝑦=0,所以𝑏𝑎=13.又a2+b2=c2,从而𝑐𝑎=103,即e=103.答案:103典例透析123455.已知以原点O为中心,F(5,0)为右焦点的双曲线𝐶的离心率𝑒=52.求双曲线𝐶的标准方程及其渐近线方程.分析:由题意可知焦点在x轴上,所以可设方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),再由离心率知𝑐𝑎=52,又因为c=5,从而可求得a,b,即可求得双曲线C的标准方程及其渐近线方程.解:设双曲线C的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),则由题意,知c=5,𝑒=𝑐𝑎=52,得a=2,b=𝑐2-𝑎2=1.所以双曲线C的标准方程为𝑥24−𝑦2=1,双曲线C的渐近线方程为y=±12𝑥.典例透析