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-1-2.3.1双曲线的标准方程目标导航1.理解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程的定义.知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.名师点拨在双曲线的定义中,(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).(2)当常数大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.(3)当常数等于零时,动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成为双曲线的一支.知识梳理【做一做1】已知定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,为双曲线的是()A.||PF1|-|PF2||=5B.||PF1|-|PF2||=6C.||PF1|-|PF2||=7D.|𝑃𝐹1|2−|𝑃𝐹2|2=±6解析:因为|F1F2|=6,所以与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值应小于6,故选A.答案:A知识梳理2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2−y2b2=1(𝑎0,𝑏0)y2a2−x2b2=1(𝑎0,𝑏0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b2c2=a2+b2名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方程.反之亦成立.2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.知识梳理【做一做2-1】双曲线𝑥210−𝑦22=1的焦距为()A.32B.42C.33D.43解析:由已知有c2=a2+b2=12,得c=23,故双曲线的焦距为43.答案:D【做一做2-2】若双曲线的焦点在x轴上,且经过(2,0),(4,3)两点,则双曲线的标准方程为.解析:设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),由题意知a=2,则𝑥24−𝑦2𝑏2=1.将点(4,3)代入得164−9𝑏2=1,解得b2=3,故双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦23=1.答案:𝑥24−𝑦23=1重难聚焦1.椭圆与双曲线的区别剖析:椭圆双曲线MF1+MF2=2𝑎MF1−MF2=±2𝑎因为ac0,所以令a2-c2=b2(b0)因为ca0,所以令c2-a2=b2(b0)x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,其中ab0x2a2−y2b2=1,y2a2−x2b2=1,其中a0,b02.求双曲线方程的常用方法剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.(2)定义法.典例透析题型一题型二题型三题型四双曲线的定义及应用【例1】如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.分析:可利用双曲线的定义来求解.解:由圆F1:(x+5)2+y2=1,得圆心F1(-5,0),半径r1=1.由圆F2:(x-5)2+y2=42,得圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,所以|MF2|-|MF1|=3,即点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,𝑐=5.所以b2=c2-a2=25−94=914.故动圆圆心M的轨迹方程为49𝑥2−491𝑦2=1𝑥≤-32.典例透析题型一题型二题型三题型四反思遇到动点到两定点的距离之差的问题时,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意x的范围.典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点(3,-42),94,5,求双曲线的标准方程.分析:可根据已知条件,先设出双曲线方程,再把点的坐标代入即可.解:设双曲线的标准方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0),将点(3,-42),94,5分别代入方程,得32𝑎2-9𝑏2=1,25𝑎2-8116𝑏2=1,解得𝑎2=16,𝑏2=9.故所求双曲线的标准方程为𝑦216−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思双曲线的标准方程有两种形式,即𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1𝑎0,𝑏0,𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1𝑎0,𝑏0,方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1表示双曲线的充要条件是mn0.典例透析题型一题型二题型三题型四与双曲线有关的轨迹问题【例3】在△MNG中,|NG|=4,点M是动点,且sinG-sinN=12sin𝑀,求动点𝑀的轨迹方程.分析:已知角的关系,可先用正弦定理,化角的关系为边的关系,再考虑用定义求轨迹方程.典例透析题型一题型二题型三题型四解:以NG所在的直线为x轴,以线段NG的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.因为sinG-sinN=12sinM,|NG|=4,所以由正弦定理得|MN|-|MG|=12×4=2.所以由双曲线的定义知,点M的轨迹是以N,G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点).因为2c=4,2a=2,所以c=2,a=1,所以b2=c2-a2=3.故动点M的轨迹方程为x2−𝑦23=1(𝑥1).典例透析题型一题型二题型三题型四反思求轨迹方程时,如果没有平面直角坐标系,那么要建立适当的平面直角坐标系.动点M的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点,这种情况一般在求得方程的后面应加以说明,并把说明的内容加上括号.典例透析题型一题型二题型三题型四易错题型【例4】已知双曲线4x2-9y2+36=0,求它的焦点坐标.错解:将双曲线方程化为标准方程−𝑥29+𝑦24=1,则a=3,b=2,c=13,故双曲线的焦点坐标为(−13,0),(13,0).错因分析:这种解法是错误的.原因在于:双曲线的焦点在x轴或y轴上,不是以分母的大小确定的,而是依据二次项系数的符号确定的.正解:将双曲线方程化为标准方程𝑦24−𝑥29=1,可知焦点在y轴上,则a=2,b=3,c2=a2+b2=13,即c=13.故双曲线的焦点坐标为F1(0,−13),𝐹2(0,13).典例透析题型一题型二题型三题型四反思判断时,需先将原方程化为标准形式,即方程的右边是1,方程的左边是“x2”和“y2”项的差,再根据“x2”与“y2”系数的正负判断焦点所在的坐标轴,最后求解.典例透析12341.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线解析:因为F1,F2是两定点,|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹为一条射线.答案:D典例透析12342.若双曲线𝑥225−𝑦2144=1上一点𝑃到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是()A.P到左焦点的距离是8B.P到左焦点的距离是15C.P到左焦点的距离不确定D.这样的点P不存在解析:选项A和选项C易判断是错误的,对选项B而言,若|PF1|=15,|PF2|=5,则|PF1|+|PF2|=20,而|F1F2|=26,即有|PF1|+|PF2||F1F2|=26,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾,故选D.答案:D典例透析12343.已知方程𝑥2𝑘-3+𝑦22-𝑘=1表示焦点在𝑦轴上的双曲线,则𝑘的取值范围是___________.解析:因为方程𝑥2𝑘-3+𝑦22-𝑘=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以𝑘-30,2-𝑘0,所以k2.答案:k2典例透析12344.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,c=5,焦点在x轴上;(2)a=b,经过点(3,-1).分析:灵活应用双曲线方程,要注意讨论焦点所在的位置,不要漏解.解:(1)因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.又因为焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为𝑥216−𝑦29=1.(2)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入得,32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求双曲线的标准方程为𝑥28−𝑦28=1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入得(-1)2-32=a2,则a2=-8,不符合实际,所以焦点不可能在y轴上.综上,所求双曲线的标准方程为𝑥28−𝑦28=1.典例透析