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-1-2.1曲线与方程目标导航1.了解曲线与方程的对应关系.2.了解两条曲线交点的求法.3.了解用坐标法研究几何性质.4.掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质.知识梳理1.点的轨迹方程一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.【做一做1】到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是()A.x-y-1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0答案:C知识梳理2.曲线的方程与方程的曲线的定义(1)在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:①曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程.名师点拨在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系①可知A⊆B,由关系②可知B⊆A;若同时具有关系①和②,就有A=B.(2)曲线C用集合的特征性质描述法,可以描述为C={M(x,y)|F(x,y)=0}.知识梳理3.两曲线的交点已知两条曲线C1:F(x,y)=0和C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组𝐹(𝑥,𝑦)=0,𝐺(𝑥,𝑦)=0的实数解就可以得到.名师点拨曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题,那么,解二元方程组的一切思路方法和相关知识,都是求两曲线交点的基本依据和方法.【做一做2】若曲线y=x2+1和y=x+m有两个不同的交点,则()A.m∈RB.m∈0,34C.m=34D.m∈34,+∞解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方程x2-x+1-m=0的判别式大于零,即(-1)2-4(1-m)0,解得m34.答案:D重难聚焦1.对曲线与方程的定义的进一步理解剖析:(1)定义中的第①条“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上的所有点都符合这个条件并且毫无例外(纯粹性).(2)定义中的第②条“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上并且毫无遗漏(完备性).(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程F(x,y)=0的解集{(x,y)|F(x,y)=0}之间的一一对应关系,由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质,又可以由曲线求它的方程.重难聚焦2.曲线方程的求法剖析:(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;(4)化方程F(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.典例透析题型一题型二曲线与方程的概念【例1】若曲线C上的点的坐标满足方程F(x,y)=0,则下列说法正确的是()A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上D.坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上解析:方法一:上述说法写成命题的形式为“若点M(x,y)是曲线C上的点,则点M的坐标适合方程F(x,y)=0”.其逆否命题为“若点M的坐标不适合方程F(x,y)=0,则点M不在曲线C上”.故选C.方法二:本题亦可考虑特殊值法,作直线l:y=1.考查l与F(x,y)=y2-1=0的关系,知选项A,B,D三种说法均不正确.故选C.答案:C典例透析题型一题型二反思1.判定曲线与方程的对应关系有两种方法:等价转换和特值讨论.它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性.2.处理“曲线与方程”的概念题,可采用直接法,也可采用特值法.典例透析题型一题型二曲线方程的求法【例2】已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心G的轨迹方程.分析:先写出C与G之间的坐标关系,再用G的坐标表示C的坐标,然后代入C的坐标所满足的关系式中,化简整理即得所求轨迹方程.解:设△ABC的重心坐标为G(x,y),顶点C的坐标为(x1,y1),由重心坐标公式得𝑥=-2+0+𝑥13,𝑦=0-2+𝑦13⇒𝑥1=3𝑥+2,𝑦1=3𝑦+2,代入y1=3𝑥12−1,得3y+2=3(3x+2)2-1,则有y=9x2+12x+3.故所求轨迹方程为y=9x2+12x+3.典例透析题型一题型二【例3】长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足𝐴𝐶=2𝐶𝐵,求动点𝐶的轨迹方程.分析:A,B分别在x轴、y轴上移动,可设A(x0,0),B(0,y0),又动点C(x,y)满足𝐴𝐶=2𝐶𝐵,代入即可得轨迹方程.解:因为长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,故可设A(x0,0),B(0,y0).又因为动点C(x,y)满足𝐴𝐶=2𝐶𝐵,所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),所以𝑥-𝑥0=-2𝑥,𝑦=2𝑦0-2𝑦⇒𝑥0=3𝑥,𝑦0=32𝑦.又因为|AB|=3,即𝑥02+𝑦02=9,所以(3x)2+32𝑦2=9.整理得动点C的轨迹方程为x2+𝑦24=1.典例透析题型一题型二反思求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律,并利用坐标把这种规律翻译成代数方程.典例透析123451.方程x2+xy=x表示的图形是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:x2+xy=x可化为x(x+y)=x,即x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.答案:C典例透析123452.已知方程2x2-xy+1=0表示的曲线为C,则下列点不在C上的为()A.12,3B.(−3,5)C.-2,-92D.2,92答案:B典例透析123453.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足𝑂𝑃·𝑂𝐴=4,则点𝑃的轨迹方程是_____________________.解析:已知P(x,y),又𝑂𝑃·𝑂𝐴=4,故x+2y=4.答案:x+2y=4典例透析123454.若点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=.解析:将点P的坐标代入方程中即可求得a=13.答案:13典例透析123455.已知k∈R,直线y=3𝑥+𝑘与圆𝑥2+𝑦2=16无公共点,则𝑘的取值范围为_________________.解析:由题意,得圆心到直线的距离大于半径,即|𝑘|24,∴k8或k-8.答案:k8或k-8典例透析