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-1-2.2.2双曲线的几何性质目标导航1.理解并掌握双曲线的几何性质.2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.知识梳理双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:x轴,y轴对称中心:原点对称轴:x轴,y轴对称中心:原点顶点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏x离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2知识梳理标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长.通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为2𝑏2𝑎.a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)名师点拨与椭圆的标准方程相比较,在双曲线的标准方程中,a,b只限制a0,b0,二者没有大小要求.若限制ab0或a=b0或0ab,双曲线的离心率会受到影响.因为e=𝑐𝑎=1+𝑏𝑎2,故当ab0时,1e2,当a=b0时,e=2(亦称等轴双曲线),当0ab时,e2.知识梳理【做一做1】已知双曲线的方程为2x2-3y2=6,则此双曲线的离心率为()A.32B.52C.153D.253解析:∵双曲线的标准方程为𝑥23−𝑦22=1,∴a=3,c=5,∴e=153.答案:C【做一做2】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则其标准方程为.解析:∵𝑐𝑎=2,c=4,∴a=2,b=23,∴双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦212=1.答案:𝑥24−𝑦212=1重难聚焦如何理解有共同渐近线的双曲线系方程?剖析若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1与双曲线𝑥2𝑎'2−𝑦2𝑏'2=±1有相同的渐近线,即两对直线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0与𝑥𝑎'±𝑦𝑏'=0分别重合,则必有𝑎𝑎'=𝑏𝑏'=1𝑘(k0).故a'=ka,b'=kb(k0).反之,易求得双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1与𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1有相同的渐近线y=±𝑏𝑎x,故与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=±1有相同的渐近线的双曲线系方程为𝑥2(𝑘𝑎)2−𝑦2(𝑘𝑏)2=±1,上述方程可简化为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0).因此在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便.典例透析题型一题型二题型三题型四由双曲线方程研究其几何性质【例1】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.分析:将双曲线方程变为标准方程,确定a,b,c后求解.解将9y2-4x2=-36变形为𝑥29−𝑦24=1,即𝑥232−𝑦222=1,所以a=3,b=2,所以c=13.因此顶点坐标分别为(-3,0),(3,0),焦点坐标分别为(-13,0),(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=𝑐𝑎=133,渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±23x.作出草图如下:典例透析题型一题型二题型三题型四反思求双曲线的几何性质必须把方程化为标准形式.作几何图形时,应画出两条渐近线和两个顶点.典例透析题型一题型二题型三题型四已知双曲线的几何性质求双曲线的方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y=±3x,且过点M(1,15),求双曲线的方程.分析:应先根据渐近线方程设出双曲线的方程,再代入点的坐标求解.解渐近线方程为y=±3x的双曲线方程可设为(y+3x)·(y-3x)=m(m≠0),即y2-3x2=m(m≠0).将点M的坐标(1,15)代入上式,得m=12,所以双曲线的方程为y2-3x2=12,即𝑦212−𝑥24=1.反思要注意在已知渐近线方程的情况下双曲线方程的设法,即已知渐近线方程为𝑥𝑎±𝑦𝑏=0或y=±𝑏𝑎x时,设双曲线方程为𝑦+𝑏𝑎𝑥𝑦-𝑏𝑎𝑥=m(m≠0).典例透析题型一题型二题型三题型四与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为.解析利用渐近线的定义求解.方法一:方程𝑥24−𝑦28=1,即为𝑥222−𝑦2(22)2=1,∴a=2,b=22.∴双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为y=±2x.方法二:令𝑥24−𝑦28=0,即𝑥2+𝑦22=0或𝑥2−𝑦22=0,即y=-2x或y=2x.∴双曲线𝑥24−𝑦28=1的渐近线方程为y=±2x.答案y=±2x典例透析题型一题型二题型三题型四反思求双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的渐近线方程,一般有两种方法:①求出a,b,代入y=±𝑏𝑎x得渐近线方程.②令𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=0,得𝑥𝑎±𝑦𝑏=0,即y=±𝑏𝑎x.典例透析题型一题型二题型三题型四【例4】双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,如图,以F1F2为边作等边三角形MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边,交MF1于点H,交MF2于点N,则双曲线的离心率为()A.1+3B.4+23C.23-2D.23+2求双曲线的离心率解析由题意知,|F1N|=3c,|NF2|=c,又|NF1|-|NF2|=2a,即3c-c=2a,所以e=𝑐𝑎=23-1=3+1.答案A反思因为双曲线的离心率e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎2,所以要求离心率,只要找到a,b,c三者之间任意两者的关系即可.典例透析1双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.52,0C.62,0D.(3,0)解析:根据双曲线的方程可知,a2=1,b2=12,则c2=32,从而c=62,所以右焦点坐标为62,0.答案:C2双曲线𝑥225−𝑦29=1的顶点坐标是()A.(5,0),(-5,0)B.(0,3),(0,-3)C.(4,0),(-4,0)D.(3,0),(-3,0)答案:A典例透析3已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43解析:由双曲线的右焦点为(3,0),知c=3,即c2=9,又∵c2=a2+b2,∴9=a2+5,即a2=4,∴a=2.故所求离心率e=𝑐𝑎=32.答案:C4若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线方程为𝑥3+y=0,则此双曲线的离心率为.解析:∵渐近线方程为𝑥3+y=0,∴𝑏𝑎=13.又a2+b2=c2,∴𝑐𝑎=103,即e=103.答案:103典例透析5已知以原点O为中心,点F(5,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=52.求双曲线C的标准方程及其渐近线方程.分析:由题意可知双曲线的焦点在x轴上,所以可设方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),再由离心率知𝑐𝑎=52,结合c=5,a2+b2=c2,即可求得a,b,从而求得双曲线C的标准方程及其渐近线方程.解:设C的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),则由题意知,c=5,e=𝑐𝑎=52,所以a=2,b=𝑐2-𝑎2=1,所以双曲线C的标准方程为𝑥24-y2=1.双曲线C的渐近线方程为y=±12x.典例透析