搜索
-1-2.2.1椭圆的标准方程目标导航1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的定义.知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.名师点拨在椭圆的定义中,(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2.(2)当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.知识梳理【做一做1-1】到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段F1F2.答案:B【做一做1-2】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,若椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:由椭圆的定义得,点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.答案:D知识梳理2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2+y2b2=1(𝑎𝑏0)y2a2+x2b2=1(𝑎𝑏0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2名师点拨由求椭圆的标准方程的过程可知,只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程.反之亦成立.知识梳理【做一做2】椭圆𝑥24+𝑦29=1的焦点坐标为__________________.解析:由椭圆的方程知焦点在y轴上,故a2=9,b2=4,c2=5.所以焦点坐标为(0,5),(0,−5).答案:(0,5),(0,−5)重难聚焦1.椭圆的定义剖析:(1)用集合语言叙述为:点集P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|};(2)在椭圆的定义中,要求常数必须大于|F1F2|,否则点的轨迹就不是椭圆.重难聚焦2.椭圆的标准方程剖析:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)为椭圆的标准方程,其焦点在x轴上,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且a,b,c满足a2=b2+c2.当焦点在y轴上时,标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0),焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且a,b,c满足a2=b2+c2(当且仅当椭圆的中心在原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才是标准形式).在椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的任一点M到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,都是正数,a是斜边,所以ab,ac,且a2=b2+c2,其中c是焦距的一半,叫做半焦距.重难聚焦名师点拨方程Ax2+By2=C(A,B,C均不为0)可化为𝐴𝑥2𝐶+𝐵𝑦2𝐶=1,即𝑥2𝐶𝐴+𝑦2𝐶𝐵=1.只有A,B,C同号,且A≠B时,方程表示椭圆.当𝐶𝐴𝐶𝐵时,椭圆的焦点在x轴上;当𝐶𝐴𝐶𝐵时,椭圆的焦点在y轴上.典例透析题型一题型二题型三求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0);(3)经过点P(-23,1),𝑄(3,−2).分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0).所以2a=(5+4)2+(5-4)2=10.所以a=5.又因为c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为𝑥225+𝑦29=1.典例透析题型一题型二题型三(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以4𝑎2+0𝑏2=1,0𝑎2+1𝑏2=1⇒𝑎2=4,𝑏2=1.故所求椭圆的标准方程为𝑦24+𝑥2=1.(3)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m0,n0,且m≠n),因为点P(-23,1),𝑄(3,−2)在椭圆上,所以代入上述方程得12𝑚+𝑛=1,3𝑚+4𝑛=1.解得𝑚=115,𝑛=15.故所求椭圆的标准方程为𝑥215+𝑦25=1.典例透析题型一题型二题型三反思1.当椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时,椭圆的方程是标准方程.2.求椭圆的标准方程可分三步:(1)确定焦点所在的坐标轴;(2)求出a2,b2的值;(3)写出椭圆的标准方程.3.已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,且m≠n)的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母不含字母;(2)不用讨论焦点所在的坐标轴.典例透析题型一题型二题型三与椭圆有关的轨迹问题【例2】若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A'(1,0)的距离的和为定值m,试求点P的轨迹.分析:分m2,m=2,m2三种情况来讨论,即可求得所求的轨迹.解:|PA|+|PA'|=m,|AA'|=2.(1)当m2时,点P不存在.(2)当m=2时,点P的轨迹是线段AA',其方程为y=0(-1≤x≤1).(3)当m2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A,A'为焦点的椭圆.∵2c=2,2a=m,∴a=𝑚2,𝑐=1,𝑏2=𝑎2−𝑐2=𝑚24−1.故点P的轨迹方程为𝑥2𝑚24+𝑦2𝑚24-1=1.典例透析题型一题型二题型三反思在求动点的轨迹时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值时,首先要考虑它是否满足椭圆的定义,再确定其轨迹.一定要注意定值与两定点间距离的大小关系.典例透析题型一题型二题型三易错题型【例3】若方程𝑥25-𝑘+𝑦2𝑘-3=1表示椭圆,求𝑘的取值范围.错解:由题意知5-𝑘0,𝑘-30,得3k5.错因分析:错解中没有注意椭圆方程中的ab这一条件,而当a=b时,方程并不表示椭圆.正解:由题意知5-𝑘0,𝑘-30,5-𝑘≠𝑘-3⇒𝑘5,𝑘3,𝑘≠4⇒3k4或4k5.典例透析题型一题型二题型三反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:(1)不要忽略定义中的条件2a|F1F2|;(2)在没有明确椭圆焦点所在坐标轴的情况下,椭圆的标准方程可能有两个;(3)不要忽略标准方程中ab0这一条件.典例透析123451.到两定点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之和为6的点M的轨迹()A.是椭圆B.是线段C.是椭圆或线段或不存在D.不存在解析:因为|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=8,所以轨迹不存在.答案:D典例透析123452.焦点在x轴上,且过点(-5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为.答案:𝑥225+𝑦29=1典例透析123453.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是.解析:方程可化为𝑥22+𝑦22𝑘=1,因为焦点在y轴上,则2𝑘2,𝑘0,所以0k1.答案:0k1典例透析123454.已知B,C是两个定点,|BC|=4,且△ABC的周长等于10,则△ABC的顶点A的轨迹方程为.解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示,由|BC|=4,可知B(-2,0),C(2,0),由|AB|+|AC|+|BC|=10,可知|AB|+|AC|=6|BC|=4,因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a=6,但A不在x轴上,由a=3,c=2,得b2=a2-c2=9-4=5.典例透析12345所以点A的轨迹方程是𝑥29+𝑦25=1(𝑦≠0).同理,以过B,C两点的直线为y轴,线段BC的垂直平分线为x轴时,点A的轨迹方程为𝑦29+𝑥25=1(𝑥≠0).答案:𝑥29+𝑦25=1(𝑦≠0)或𝑦29+𝑥25=1(𝑥≠0)典例透析123455.已知点P在椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.分析:由点P到两焦点的距离分别为5,3,得2a=5+3;由过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,得(2c)2=52-32,从而可求得a,b,c,得到所求方程.解:设所求的椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)或𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0).由已知条件得2𝑎=5+3,(2𝑐)2=52-32,解得a=4,c=2,所以b2=12.故所求椭圆的标准方程为𝑥216+𝑦212=1或𝑦216+𝑥212=1.典例透析