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-1-2.2.4圆锥曲线的统一定义ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解定理.2.掌握椭圆、双曲线的离心率的定义.3.掌握圆锥曲线的统一定义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.定理除了圆之外,每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.其中点F叫做圆锥曲线的焦点,直线叫做圆锥曲线的准线.2.离心率的几何意义(1)椭圆:椭圆上任意一点P到焦点F和直线m(m称为椭圆的一条准线)的距离之比为一个常数,我们把这个常数e称为椭圆的离心率,其范围是e∈(0,1).(2)双曲线:双曲线上任意一点P到焦点F和直线m(m称为双曲线的一条准线)的距离之比为一个常数,我们把这个常数e称为双曲线的离心率,其范围是e∈(1,+∞).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨定义中的焦点F和准线要对应.椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,其中左焦点和左准线相对应,右焦点和右准线相对应,不能混在一起,否则距离之比不是常数,也不等于离心率.【做一做1】下列数据可能是椭圆离心率的是()C.2D.4解析:由于椭圆的离心率e的范围是(0,1),仅有选项A中的数据∈(0,1).故选A.答案:AA.12B.112ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线.当e=1时,轨迹为抛物线;当0e1时,轨迹为椭圆;当e1时,轨迹为双曲线.这就是圆锥曲线的统一定义.归纳总结椭圆、双曲线、抛物线的统一性:一是定义统一;二是都是平面截圆锥面的交线;三是都有焦点和准线;四是它们的方程都是二次方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】平面π与圆锥面的轴线平行,圆锥面的母线与轴线夹角为60°,则平面π与圆锥交线的离心率是()解析:设平面与轴线夹角为θ,母线与轴线夹角为σ,答案:AA.2B.12C.32D.23由题意,知θ=0°,σ=60°,故所求离心率e=cos𝜃cos𝜎=112=2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航椭圆、双曲线的两条准线间的距离剖析椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,则两条准线间距离为2𝑎2𝑐;双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,则两条准线间距离为2𝑎2𝑐.如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.由离心率定义𝐴1𝐹1𝐴1𝐻1=𝑐𝑎,∴A1H1=𝑎𝑐A1F1.又A1F1=OF1-OA1=c-a,∴A1H1=𝑎(𝑐-𝑎)𝑐.∴OH1=OA1-A1H1,∴a-𝑎(𝑐-𝑎)𝑐=𝑎2𝑐.由对称性,得OH2=𝑎2𝑐,∴H1H2=2𝑎2𝑐.即双曲线的两条准线间距离为2𝑎2𝑐,同理可证椭圆两条准线间的距离为2𝑎2𝑐.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一椭圆的离心率【例1】已知椭圆的焦点为F1,F2,两条准线与实轴所在直线的交点分别为M,N,若MN≤2F1F2,求椭圆离心率的取值范围.分析利用不等式MN≤2F1F2列出关于a,c的不等式,解得离心率的取值范围.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:如图,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则两条准线间的距离为MN=2×𝑎2𝑐=2𝑎2𝑐,又F1F2=2c,MN≤2F1F2,则2𝑎2𝑐≤2×2c,整理得𝑐𝑎2≥12,解得𝑐𝑎≥22,即e≥22,所以椭圆离心率的取值范围是22,1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思(1)本题易错得椭圆的离心率的取值范围是22,+∞,其原因是忽视了椭圆的离心率是小于1的正数这个隐含条件;(2)讨论椭圆的离心率问题时,要紧扣离心率的定义e=𝑐𝑎.特别是求椭圆离心率的取值范围时,通常利用已知条件中的不等式转化为关于a,c的不等式,解得𝑐𝑎的取值范围即离心率e的取值范围.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二双曲线的离心率【例2】已知F1,F2是双曲线的左、右焦点,过F1与双曲线实轴垂直的直线交双曲线的左支于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求双曲线的离心率.分析画出图形,结合图形定量分析正三角形ABF2,从而确定关于a,c的等式,解得即离心率e的值.𝑐𝑎ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:如图,设双曲线的实轴长是2a,焦距为2c,由于△ABF2是正三角形,则∠AF2F1=π6,所以AF1=33F1F2,则AF2=233F1F2,又F1F2=2c,AF2-AF1=2a,所以233(2c)-33(2c)=2a,整理得𝑐𝑎=3,即双曲线的离心率e=3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思求双曲线的离心率时有两种方法:一是求出a,c的大小,代入离心率的定义式e=𝑐𝑎求得;二是利用已知条件列出关于a,c的等量关系式,整理解得𝑐𝑎即离心率e的值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三最值问题【例3】如图,椭圆的离心率e=45,F是椭圆的右焦点,A是椭圆内的点,试确定点P的位置,使54PF+PA取最小值.分析利用圆锥曲线的统一定义,把54PF转化为点P到准线的距离,结合图形找出最小值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:如图,设准线l是椭圆的右准线,过点P作准线l的垂线,垂足是Q,过点A作准线l的垂线,垂足是B,交椭圆于点M,很明显PQ+PA≥MA+MB=AB,当且仅当点P和点M重合时取等号,所以当PA垂直于椭圆的准线时,PF+PA取最小值.由于椭圆的离心率e=45,则𝑃𝐹𝑃𝑄=45,所以PQ=54PF,所以54PF+PA=PQ+PA,54反思椭圆的离心率为e,P是椭圆上任一点,F是椭圆的焦点,A是椭圆内一点,则当且仅当PA垂直于椭圆的准线时,PA+PF取最小值(A到与之距离较近的准线的距离).1𝑒ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.如图,设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆长轴长为2a,焦距为2c,右准线l与长轴的延长线交于点K,点P在l上,PK=c,若F1F2=F2P,则椭圆的离心率是()3解析:在△PKF2中,∠PKF2=90°,PK=3c,F2K=𝑎2𝑐-c,F2P=𝑃𝐾2+𝐹2𝐾2,又F1F2=F2P,所以2c=𝑎2𝑐-𝑐2+(3𝑐)2,化简得a2-2c2=0,解得𝑐𝑎=22,即椭圆的离心率e=22.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.如图,设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆长轴长为2a,焦距为2c,过F1作x轴的垂线交椭圆于点P,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13解析:在△PF1F2中,∠PF1F2=90°,∠F1PF2=60°,所以PF1=33F1F2,则PF2=233F1F2,又F1F2=2c,PF2+PF1=2a,所以233·2c+33·2c=2a,整理得𝑐𝑎=33,即椭圆的离心率e=33.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453.已知双曲线的两个焦点为F1,F2,P是双曲线上一点,且有PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为()A.(-∞,3]B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)解析:设双曲线的实轴长是2a,焦距为2c,则PF1-PF2=2PF2-PF2=PF2=2a,所以PF1=2PF2=4a.又PF1+PF2≥F1F2,F1F2=2c,所以4a+2a≥2c,整理得所以双曲线离心率的取值范围为1e≤3.答案:B𝑐𝑎≤3,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123454.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M是虚轴上的上边的端点,O是F1F2的中点,且∠MF1F2=30°,则双曲线的离心率e=.解析:在Rt△F1OM中,∠F1OM=90°,∠MF1O=30°,则OF1=c,OM=b,𝑏𝑐=tan30°,所以c=3b,所以c2=3b2,所以c2=3(c2-a2),整理得3a2=2c2,则双曲线的离心率e=𝑐𝑎=32=62.答案:62ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123455.已知F1,F2为椭圆的焦点,长轴长2a=4,短轴长2b=2,P为椭圆上任一点,求:(1)PF1·PF2的最大值;(2)P𝐹12+P𝐹22的最小值.解:由于P为椭圆上任一点,则PF1+PF2=2a=4,(1)PF1·PF2≤𝑃𝐹1+𝑃𝐹222=4,当且仅当PF1=PF2=2时取等号,所以PF1·PF2的最大值是4.(2)P𝐹12+P𝐹22=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=16-2PF1·PF2,由(1)知PF1·PF2≤4,所以P𝐹12+P𝐹22=16-2PF1·PF2≥16-2×4=8,当且仅当PF1=PF2=2时取等号,所以P𝐹12+P𝐹22的最小值是8.