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-1-2.2等差数列-2-2.2.1等差数列目标导航ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.3.理解等差数列的性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.名师点拨1.定义中从“第2项起”,这一条件是指第1项是首项,前面没有其他项.2.“每一项与它的前一项的差”说明了运算的顺序,必须是后项减前项,而且必须是相邻的两项.3.“同一常数”是指每一项与它前一项的差必须相同,否则不是等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1,2,3,那么下列结论中正确的是()A.它一定是等差数列B.它一定是递增数列C.它一定是有穷数列D.以上结论都不一定正确答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.等差数列的通项公式如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.名师点拨等差数列通项公式的其他形式.(1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数).【做一做2-1】已知数列{an}的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列解析:已知a1=7,an-an-1=2(n≥2),故这是一个以2为公差的等差数列.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做2-2】等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是()A.92B.47C.46D.45解析:由已知,得a1=1,d=(-1)-1=-2,∴an=1+(n-1)×(-2)=-2n+3.令-2n+3=-89,得n=46.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y.归纳总结1.当三个数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;当四个数成等差数列时,一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.2.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,表示为an+1=,等价于an+an+2=2an+1,an+1-an=an+2-an+1.【做一做3】已知在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则∠B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°答案:B𝑎𝑛+𝑎𝑛+22ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三一、解读等差数列的概念剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这个常数可以不同.(2)求公差d时,可以利用d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an来求.(3)公差d∈R,当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三(4)d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an是证明一个数列是等差数列的依据,切忌只通过计算数列中特殊几项的差,发现它们是同一常数,就断定此数列为等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三二、等差数列的性质剖析:若数列{an}是公差为d的等差数列,(1)d=𝑎𝑛-𝑎1𝑛-1=𝑎𝑚-𝑎𝑘𝑚-𝑘(m,n,k∈N+).(2)an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.(4)若𝑚+𝑛2=k,则am+an=2ak.(5)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….(6)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(7)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三(8)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也成等差数列.(9)若{an}是等差数列,则a1,a3,a5,…仍成等差数列.(10)若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航一二三三、教材中的“?”(1)通项公式为an=an-b(a,b是常数)的数列都是等差数列吗?剖析:通项公式为an=an-b(a,b为常数)的数列都是等差数列,其公差为a.(2)怎么证明A=𝑥+𝑦2?剖析:因为x,A,y成等差数列,所以A-x=y-A,即2A=x+y.所以A=𝑥+𝑦2.(3)要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?剖析:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五等差数列的判断【例1】判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2;(2)an=n2+n.分析:利用等差数列的定义,即判断an+1-an(n∈N+)是否为常数.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知,这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思1.利用定义法判断等差数列时,关键是看an+1-an得到的结果是否是一个与n无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列.2.等差数列的判断方法.(1)定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d⇔数列{an}是等差数列;(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列;(3)通项公式法:an=an+b⇔数列{an}是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.1𝑏+𝑐,1𝑐+𝑎,1𝑎+𝑏分析:要证明三个数成等差数列,一般只要证明中间项是另两项的等差中项即可.证明:∵1𝑏+𝑐,1𝑐+𝑎,1𝑎+𝑏成等差数列,∴2𝑐+𝑎=1𝑏+𝑐+1𝑎+𝑏,∴2𝑐+𝑎=2𝑏+𝑎+𝑐(𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏),∴(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2也成等差数列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三等差数列的通项公式及其应用【例2】已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列{an}的通项公式,并判断-34是数列{an}的项吗?分析:由数列前三项和为18,前三项积为66,列出关于a1和d的方程组,通过解方程组求得a1和d,由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出an;由an=-34求n,然后由n∈N+可判断.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三解:设该数列的首项为a1,公差为d,由题意得𝑎1+𝑎2+𝑎3=18,𝑎1𝑎2𝑎3=66,即3𝑎1+3𝑑=18,𝑎1(𝑎1+𝑑)(𝑎1+2𝑑)=66,解得𝑎1=11,𝑑=-5或𝑎1=1,𝑑=5,又该数列为递减数列,所以d=5不合题意,所以该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=11-5(n-1)=-5n+16.令-5n+16=-34,解得n=10.即-34是数列{an}中的项,为第10项.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【互动探究】若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”,其余条件不变,结果如何?答案:an=5n-4,-34不是数列{an}中的项.反思1.已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列中的任一项.2.在等差数列中,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得第四个量,即“知三求一”.3.待定系数法求等差数列的通项公式是基本方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=𝑎22-4,则an=.解析:利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d,则由a3=-4,得1+2d=(1+d)2-4,即d2=4,解得d=±2.∵该数列为递增数列,∴d=2.∴an=1+(n-1)×2=2n-1.答案:2n-1𝑎22ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型五等差数列性质的应用【例3】已知在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a3+a9.分析:既可以用等差数列的性质得到a2+a10=a3+a9=2a6,也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解.解:方法一:根据等差数列的性质,得a2+a10=a3+a9=2a6.又a2+a6+a10=1,∴3a6=1,解得a6=13.∴a3+a9