2019版高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课课件 新人教B版必修5

-1-习题课——等差数列习题课目标导航SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析1.进一步了解等差数列的定义,通项公式以及前n项和公式.2.理解等差数列的性质,等差数列前n项和公式的应用.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四等差数列的前n项和【例1】在等差数列{an}中,已知下列条件,求数列的前n项和Sn.(1)a1=100,d=-2,n=50;(2)a1=14.5,d=0.7,an=32.分析:利用等差数列{an}的前n项和公式Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2或Sn=na1+𝑛(𝑛-1)𝑑2求解.解:(1)由Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d,得S50=50×100+50×(50-1)2×(-2)=2550.(2)由an=a1+(n-1)d,得32=14.5+(n-1)×0.7,解得n=26.由Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d,得S26=26×14.5+26×(26-1)2×0.7=604.5.反思分析等差数列前n项和的两个公式可知,它们的共同点是需需要知道d,解题时,需根据已知条件决定选用哪个公式.知道a1和n,不同点是Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2还需要知道an,Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d还SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),求S100.解:由an+2-an=1+(-1)n可得,若n为奇数,则an+2-an=0;若n为偶数,则an+2-an=2.所以a1=a3=…=a99=1,a2,a4,a6,…,a100是以2为首项,2为公差的等差数列.∴S100=1×50+2×50+50×(50-1)2×2=2600.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三已知Sn求an【例2】已知数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式an.分析:求a1→n≥2时求an→n=1时验证an→通项公式anSn=-32n2+2052n解:a1=S1=-32×12+2052×1=101.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-32𝑛2+2052𝑛−-32(𝑛-1)2+2052(𝑛-1)=-3n+104.因为n=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三反思数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:已知数列{an}的通项就可以求数列{an}的前n项和Sn;反过来,若已知前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an.∵Sn=a1+a2+a3+…+an,∴Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2).在n≥2的条件下,把上面两式相减可得:an=Sn-Sn-1;当n=1时,a1=S1.所以an与Sn有如下关系:an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.注意:an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N+都成立,而只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公式an时,要分n=1和n≥2两种情况,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型四题型三【变式训练2】已知数列{an}的前n项和Sn,且Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N+),a1=,求an.解:将an=Sn-Sn-1(n≥2)和an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N+)联立,得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即1𝑆𝑛-1−1𝑆𝑛+2=0,∴1𝑆𝑛−1𝑆𝑛-1=2.∴数列1𝑆𝑛是公差为2的等差数列.又S1=a1=12,∴1𝑆1=2.∴1𝑆𝑛=2+(n-1)×2=2n,Sn=12𝑛,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12𝑛−12(𝑛-1)=-12𝑛(𝑛-1).∴an=12,𝑛=1,-12𝑛(𝑛-1),𝑛≥2,𝑛∈N+.12SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四数列的求和问题【例3】在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.分析:先分清哪些项是负的,然后再分段求出前n项的绝对值之和.解:因为数列{an}的公差d=𝑎17-𝑎117-1=-12-(-60)16=3,所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an0,得3n-630,即n21.所以数列{an}的前20项是负数,从第21项开始都为非负数.设Sn,S'n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,S'n=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an=-Sn=--60𝑛+𝑛(𝑛-1)2×3=-32n2+1232n;SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四当n20时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+𝑛(𝑛-1)2×3-2×-60×20+20×192×3=32n2-1232n+1260.所以数列{|an|}的前n项和S'n=-32𝑛2+1232𝑛,𝑛≤20,32𝑛2-1232𝑛+1260,𝑛20.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前n项和,可分为以下情形:(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)在等差数列{an}中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)在等差数列{an}中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列{an}分成两段处理.总之,解决此类问题的关键是找到数列{an}的正、负分界点.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知{an}为等差数列,an=10-3n,求数列{|an|}的前n项和.解:由于an有正也有负,当an≥0时,|an|=an;当an0时,|an|=-an.当an=10-3n≥0时,n≤103.设数列{|an|}的前n项和为Sn,则有Sn=𝑎1+…+𝑎𝑛,𝑛≤3,𝑎1+𝑎2+𝑎3-𝑎4-…-𝑎𝑛,𝑛≥4=𝑎1+𝑎𝑛2·𝑛,𝑛≤3,2(𝑎1+𝑎2+𝑎3)-(𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛),𝑛≥4=-3𝑛2+17𝑛2,𝑛≤3,3𝑛2-17𝑛+482,𝑛≥4.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【例4】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1𝑎𝑛2-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.分析:(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)由(1)求出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有𝑎1+2𝑑=7,2𝑎1+10𝑑=26,解得a1=3,d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+𝑛(𝑛-1)2×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=1𝑎𝑛2-1=1(2𝑛+1)2-1=14·1𝑛(𝑛+1)=14·1𝑛-1𝑛+1,所以Tn=141-12+12-13+…+1𝑛-1𝑛+1=141-1𝑛+1=𝑛4(𝑛+1).即数列{bn}的前n项和Tn=𝑛4(𝑛+1).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思裂项法求和是数列求和的一种常用方法,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.常用到的裂项公式有如下形式:(1)1𝑛(𝑛+𝑘)=1𝑘1𝑛-1𝑛+𝑘;(2)1𝑛+𝑘+𝑛=1𝑘(𝑛+𝑘−𝑛).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练4】在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn为前n项之和,求1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛.解:由等差数列前n项和的求和公式,得Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=3n+𝑛(𝑛-1)2×2=n2+2n.则1𝑆𝑛=1𝑛(𝑛+2)=121𝑛-1𝑛+2,故1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛=121-13+12-14+…+1𝑛-1𝑛+2=121+12-1𝑛+1-1𝑛+2=34−2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2)=3𝑛2+5𝑛4(𝑛+1)(𝑛+2).SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四等差数列前n项和的最值问题【例5】在等差数列{an}中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?解:由S9=S12得S12-S9=a10+a11+a12=0,即3a11=0,即a11=0.因为a10,所以公差d0.所以根据等差数列的性质可知,数列的前10项或前11项和最小.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思求前n项和最值问题的方法与技巧:(1)已知等差数列的前n项和公式,求最值此类问题一般要运用配方的方法求解,即借助二次函数的性质求解.(2)已知和关系求最值在等差数列{an}中①若a10,且Sp=Sq(p≠q),则当p+q为偶数时,n=𝑝+𝑞2,Sn最大;当p+q为奇数时,n=𝑝+𝑞-12或n=𝑝+𝑞+12,Sn最大.②若a10,且Sp=Sq(p≠q),则当p+q为偶数时,n=𝑝+𝑞2,Sn最小;当p+q为奇数时,n=𝑝+𝑞-12或n=𝑝+𝑞+12,Sn最小.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(3)当已知等差数列的通项公式时,用𝑎𝑛≤0,𝑎𝑛+1≥0或𝑎𝑛≥0,𝑎𝑛+1≤0确定n的值,得出前n项和的最值.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练5】已知在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13.(1)求公差d;(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.解:(1)由11a5=5a8-13,得11(a1+4d)=5(a1+7d)-13,∵a1=-3,∴d=59.(2)an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)×59.令an≤0,得n≤325,∴a1a2…a60a7…,∴Sn的最小值为S6=6a1+6×52d=6×(-3)+15×59=-293.SUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航123451已知在等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:因为a7+a9=a4+a12=16,a4=1,所以a12=15.答案:ASUITANGLIANXI随堂演练DIANLITOUXI典