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-1-2.3函数的应用(Ⅰ)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题.2.理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.直线型的函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样.解题时常设为:正比例型:y=kx(k≠0),一次函数型:y=kx+b(k≠0).当k0时两者都是增长型函数,k的值越大增速越快.如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模型来解决.名师点拨在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围;二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,使结果符合实际问题的要求.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)解析:由题意可知总收入y(单位:元)关于x(单位:辆次)的函数关系式为y=0.5x+(2000-x)×0.8=-0.3x+1600,0≤x≤2000.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.抛物线型的模型(二次函数模型)二次函数常设为y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式,其图象是抛物线,顶点坐标是-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,对称轴是直线x=−𝑏2𝑎,当a0时,抛物线在对称轴的左边单调递减,在对称轴的右边单调递增,在x=−𝑏2𝑎处有最小值4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,经常需要用配方法求最值.现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型.投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型,利用图象的性质解答.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123知识拓展在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法.(1)待定系数法:已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数解析式;(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式;(3)方程法:用x表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式就是含x,y的二元方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2】如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩形饲养场,现有总长为1的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比为时,能使围成的饲养场的总面积最大.解析:设小矩形长为x,则宽为1-4𝑥6,饲养场的总面积为y,则有y=3x·1-4𝑥6=−2x2+12𝑥,当x=18时,y有最大值,此时宽为112,故每个矩形的长宽之比为3∶2时,围成的饲养场的总面积最大.答案:3∶2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不相同,此时我们可以利用分段函数模型来进行刻画.由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.名师点拨1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3】已知A,B两地相距150km.某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+50C.x=60𝑡,0≤𝑡≤2.5,150-50𝑡,2.5𝑡≤3.5D.x=60𝑡,0≤𝑡≤2.5,150,2.5𝑡≤3.5,150-50(𝑡-3.5),3.5𝑡≤6.5ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123解析:如图,汽车离开A地的距离x(km)与时间t(h)之间的关系式是x=60𝑡,0≤𝑡≤2.5,150,2.5𝑡≤3.5,150-50(𝑡-3.5),3.5𝑡≤6.5.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、数学建模的一般步骤剖析:数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向;析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简、转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量;建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程;解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航归纳总结实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述:(1)收集数据,画图提出假设;(2)依托图表,理顺数量关系;(3)抓住关键,建立函数模型;(4)精确计算,求解数学问题;(5)回到实际,检验问题结果.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、教材中的“思考与讨论”对例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.剖析:“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一一次函数模型的应用【例1】某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元,设甲地调运x台至B地,该公司运往A地和B地的总运费为y元.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若总运费不超过1000元,则有几种调运方案?(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.分析:解答本题首先表示出从甲、乙两地分别运至A,B两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0≤x≤6,x∈N),则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,故y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).(2)若使y≤1000,即20x+960≤1000,得x≤2.因为0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.所以x=0,1,2,即有3种调运方案.(3)因为y=20x+960是R上的增函数,且0≤x≤6,x∈N,所以当x=0时,y有最小值,为960.所以总运费最低的调运方案为从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思通过对本题的求解,我们可得到以下启发:(1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.本题涉及电脑台数与运费的关系,解答的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数;(2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围,如本题中0≤x≤6,且x∈N;(3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).(1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)