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-1-2.2.2二次函数的性质与图象ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质.2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.学会用从特殊到一般的思想方法来研究二次函数,并注意与初中所学知识的类比和联系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.二次函数的定义函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R.【做一做1-1】下列函数中是二次函数的是()A.y=x-2B.y=1-x2答案:B【做一做1-2】若函数f(x)=(m2-2m-3)x2-(m+1)x+5是一次函数,则m的取值范围为;若f(x)是二次函数,则m的取值范围为.答案:m=3m≠-1,且m≠3C.y=x2−1𝑥D.y=1𝑥2+2𝑥+4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.二次函数的图象和性质(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,对称轴为x=−𝑏2𝑎.(2)当a0时,抛物线开口向上,函数在x=−𝑏2𝑎处取得最小值ymin=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,在区间-∞,-𝑏2𝑎上是减函数,在区间-𝑏2𝑎,+∞上是增函数.(3)当a0时,抛物线开口向下,函数在x=−𝑏2𝑎处取得最大值ymax=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,在区间-𝑏2𝑎,+∞上是减函数,在区间-∞,-𝑏2𝑎上是增函数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12知识拓展1.当二次函数图象的对称轴与y轴重合,即b=0时,二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数.2.在y=ax2(a≠0)中,当a0时,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;当a0时,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系:二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】下列关于二次函数y=x2+x+1的开口方向和顶点的说法正确的是()A.开口向下,顶点是(1,1)B.开口向上,顶点是(1,1)答案:DC.开口向下,顶点是-12,34D.开口向上,顶点是-12,34ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象只可能是()答案:C解析:由y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,得a0,b0,故−𝑏2𝑎0.因此,y=ax2+bx的图象开口向下,且对称轴x=−𝑏2𝑎0,故选C.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航一、二次函数图象的对称轴剖析:(1)二次函数图象的对称轴通常有以下三种求法:①利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为②若二次函数f(x)对任意x1,x2∈R都有f(x1)=f(x2),则对称轴为③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).(2)利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.x=−𝑏2𝑎;x=𝑥1+𝑥22;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二、二次函数在闭区间上的最值问题剖析:对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值问题,应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间[p,q]上的最值问题可作如下讨论:ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(1)对称轴x=h在区间[p,q]的左侧,即当hp时,f(x)max=f(q),f(x)min=f(p).(2)对称轴x=h在区间[p,q]之间,即当p≤h≤q时,f(x)min=f(h)=k.当p≤h≤𝑝+𝑞2时,f(x)max=f(q);当h=𝑝+𝑞2时,f(x)max=f(p)=f(q);当𝑝+𝑞2ℎ≤q时,f(x)max=f(p).(3)对称轴x=h在区间[p,q]的右侧,即当hq时,f(x)max=f(p),f(x)min=f(q).有关二次函数在闭区间上的最值的常见题型有三类:一是对称轴和区间都固定;二是对称轴固定、区间动;三是对称轴动、区间固定.名师点拨1.当a0时区间的最值情况可类比a0时的情况得到;2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数的对称轴上取到.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航三、教材中的“探索与研究”二次函数y=ax2+bx+c=𝑎𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎中的a,b,c对函数性质与图象各有哪些影响?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航剖析:a,b,c的代数式作用说明a决定抛物线的开口方向与开口大小,影响单调性a0开口向上,a越小,开口越大,a越大,开口越小在-∞,-b2a上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增a0开口向下,|a|越小,开口越大,|a|越大,开口越小在-∞,-b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航a,b,c的代数式作用说明b决定函数的奇偶性b=0偶函数b≠0既不是奇函数也不是偶函数c决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c)c0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0交点在x轴下方−b2a决定对称轴的位置:对称轴是直线x=−b2aab0对称轴在y轴左侧b=0对称轴为y轴ab0对称轴在y轴右侧ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航a,b,c的代数式作用说明b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数b2-4ac0有两个交点b2-4ac=0有一个交点b2-4ac0无交点-b2a,4ac-b24a决定顶点的位置利用配方法化为y=𝑎x+b2a2+4ac-b24aZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航a,b,c的代数式作用说明(x1,0)(x2,0)抛物线与x轴的交点坐标方程ax2+bx+c=0的根x1=-b-b2-4ac2a,x2=-b+b2-4ac2ab2-4ac|a|抛物线与x轴两交点间的距离|x1-x2|=-b-b2-4ac2a--b+b2-4ac2a=b2-4ac|a|ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一二次函数的图象与性质【例1】将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图象.分析:本题考查配方法和二次函数的性质与图象.解题的关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四因为x2项的系数为负数,所以函数图象开口向下;顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(-∞,-1]上单调递增,在区间[-1,+∞)上单调递减;函数有最大值,没有最小值,函数的最大值为4.采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点与y轴的交点D(0,1),再任取一点E(-2,1),过这五个点画出图象,如图所示.解:y=-3x2-6x+1=-3𝑥2+2𝑥-13=-3𝑥2+2𝑥+1-1-13=-3(𝑥+1)2-43=−3(x+1)2+4.𝐵23-33,0和𝐶-23+33,0,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思从这个例子可以看出,根据配方法得到的性质画函数的图象,可以直接选取关键点.这样做可减少选点的盲目性,使画图操作更简便,使图象更精确.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知f(x)满足f(x)=12𝑥2+bx-c,且f(-5)=f(11).(1)求f(x)的对称轴;(2)求f(x)的单调区间;(3)比较𝑓-14与𝑓-154的大小.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)因为f(-5)=f(11),所以f(x)的对称轴为x=-5+112=3,即x=3.(2)f(x)图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=3,故f(x)的单调递增区间是[3,+∞),单调递减区间是(-∞,3].(3)由(2)知f(x)在(-∞,3]上单调递减.又因为−154−143,所以𝑓-14𝑓-154.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随