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-1-2.3圆锥曲线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解椭圆的参数方程,了解参数的意义,会用椭圆的参数方程解决简单问题.2.理解抛物线的参数方程,了解参数的意义,会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题.3.理解双曲线的参数方程,了解参数的意义,会用双曲线的参数方程解决简单问题.4.通过具体问题,体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.椭圆的参数方程设椭圆的普通方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,即𝑥𝑎2+𝑦𝑏2=1.令𝑥𝑎=cos𝑡,则𝑦𝑏2=1−cos2𝑡=sin2𝑡.取𝑦𝑏=sin𝑡,则得椭圆的参数方程𝑥=𝑎cos𝑡,𝑦=𝑏sin𝑡(0≤t≤2π).若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑎cos𝑡,𝑦=𝑦0+𝑏sin𝑡(0≤t≤2π).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1-1】若椭圆的参数方程为𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(0≤θ≤2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ为()A.πB.π2C.2πD.3π2答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1-2】已知A,B分别是椭圆𝑥236+𝑦29=1的右顶点和上顶点,动点𝐶在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.解:因为动点C在该椭圆上运动,所以可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(6,0),B(0,3).由重心坐标公式,可知𝑥=6+0+6cos𝜃3=2+2cos𝜃,𝑦=0+3+3sin𝜃3=1+sin𝜃.由此可得(𝑥-2)24+(𝑦−1)2=1即为所求.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.抛物线的参数方程(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.(1)抛物线y2=2px的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.双曲线的参数方程设双曲线的普通方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,即𝑥𝑎2−𝑦𝑏2=1.令𝑥𝑎=sec𝜃,由三角公式sec2𝜃−tan2𝜃=1,得𝑦𝑏2=𝑥𝑎2−1=sec2𝜃−1=tan2𝜃.取𝑦𝑏=tan𝜃,得双曲线的参数方程𝑥=𝑎sec𝜃,𝑦=𝑏tan𝜃.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2】参数方程𝑥=sin𝛼2+cos𝛼2,𝑦=2+sin𝛼的普通方程是()A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1(|x|≤2)D.x2-y2=1(|x|≤2)解析:因为x2=1+sinα,所以sinα=x2-1.又因为y2=2+sinα=2+(x2-1),所以y2-x2=1.而x=sin𝛼2+cos𝛼2=2sin𝛼2+π4,故x∈[−2,2].答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.椭圆的参数方程中参数t的几何意义剖析从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令𝑋=1𝑎𝑥,𝑌=1𝑏𝑦,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1可以变成圆X2+Y2=1,利用圆X2+Y2=1的参数方程𝑋=cos𝑡,𝑌=sin𝑡(0≤t≤2π),可以得到椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的参数方程𝑥=𝑎cos𝑡,𝑦=𝑏sin𝑡(0≤t≤2π),因此,参数t的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角),而不是OM的旋转角.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析同一条圆锥曲线的参数方程形式不是唯一的.例如,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的参数方程可以是𝑥=𝑎cos𝑡,𝑦=𝑏sin𝑡(0≤t≤2π)的形式,也可以是𝑥=𝑎sin𝑡,𝑦=𝑏cos𝑡(0≤t≤2π)的形式,二者只是形式上不同而已,实质上表示同一个椭圆.同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意义也不同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一求圆锥曲线的参数方程【例1】已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6,焦距是25,求椭圆的参数方程.分析可先根据题目条件求出椭圆的普通方程,再化为参数方程.解:由题意,设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,则a=3,c=5,所以b=2.故椭圆的普通方程为𝑥232+𝑦222=1,化为参数方程为𝑥=3cos𝑡,𝑦=2sin𝑡,0≤t≤2π.反思求参数方程的关键是选准参数,有时可选的参数并不唯一,这时要选择一个恰当的参数.另外当求曲线的参数方程比较困难时,也可以先求出它的普通方程,再化为参数方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】参数方程𝑥=cos𝜃(sin𝜃+cos𝜃),𝑦=sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)(0≤θ≤2π)表示什么曲线?分析先消去参数化为普通方程,再判断.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型,这时只需先把它化为普通方程再作研究即可.解:∵x=cosθsinθ+cos2θ=sin2𝜃+cos2𝜃+12,∴x−12=sin2𝜃+cos2𝜃2.∵y=sin2θ+sinθcosθ=sin2𝜃-cos2𝜃+12,∴y−12=sin2𝜃-cos2𝜃2.∴𝑥-122+𝑦-122=1+2sin2𝜃cos2𝜃+1-2sin2𝜃cos2𝜃4=12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为点12,12,半径为22的圆.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三圆锥曲线的参数方程的应用【例3】设M为抛物线y2=2x上的动点,给出定点M0(-1,0),点P为线段M0M的中点,求点P的轨迹方程.分析合理选取参数,将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解题方法.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:令y=2t,则x=𝑦22=2𝑡2,得抛物线的参数方程为𝑥=2𝑡2,𝑦=2𝑡.设动点M(2t2,2t),点P的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得𝑥=12(-1+2𝑡2),𝑦=12(0+2𝑡),所以𝑥=-12+𝑡2,𝑦=𝑡.这就是点P的轨迹的参数方程,化为普通方程是y2=x+12,表示以x轴为对称轴,开口向右,顶点在点-12,0的抛物线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析【例4】已知P为椭圆𝑥216+𝑦212=1上一点,且∠POx=π3,求点𝑃的坐标.错解设点P的坐标为(x,y),如图所示,由椭圆的方程,得𝑥=4cosπ3,𝑦=23sinπ3,即点P的坐标为(2,3).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四错因分析在椭圆𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(0≤φ≤2π)和圆𝑥=𝑟cos𝜑,𝑦=𝑟sin𝜑(0≤φ≤2π)中,参数φ的意义是不同的.在圆的方程中,φ是圆周上的动点M(x,y)所对应的角∠xOM,而椭圆方程中的φ,其意义却不是这样,上述解答把椭圆方程中φ的意义与圆的方程中φ的意义混淆,从而导致了解答的错误.正解设|OP|=t,点P的坐标为𝑡cosπ3,𝑡sinπ3,代入椭圆方程,得12𝑡216+32𝑡212=1,即t=855,所以点P的坐标为455,4515.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.椭圆𝑥=2cos𝜃,𝑦=5sin𝜃(0≤θ≤2π)的焦距为()A.21B.221C.29D.229答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.椭圆𝑥=4+5cos𝜑,𝑦=3sin𝜑(0≤φ≤2π)的焦点坐标为()A.(0,0),(0,-8)B.(0,0),(-8,0)C.(0,0),(0,8)D.(0,0),(8,0)解析:利用平方关系化为普通方程答案:D为(𝑥-4)225+𝑦29=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453.参数方程𝑥=cos2𝜃,𝑦=sin𝜃表示的曲线为()A.抛物线的一部分B.抛物线C.双曲线的一部分D.双曲线答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123454.若实数x,y满足𝑥216+𝑦29=1,则𝑧=𝑥−𝑦的最大值为_________,最小值为_________.解析:由椭圆的参数方程,可设x=4cosθ,y=3sinθ(0≤θ≤2π),则z=x-y=4cosθ