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第二讲整式考点一列代数式及求代数式的值【主干必备】1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的_________连接起来的式子,叫做代数式.字母2.求代数式的值:用___________代替字母,并按照运算关系求出结果数值【微点警示】书写代数式的三个注意点(1)数与字母相乘,字母与字母相乘,乘号省略且数字在前字母在后,带分数化为假分数.(2)除号通常改为分数线.(3)和或差的形式,有带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位.【核心突破】【例1】(1)(2018·安徽中考)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%,假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()BA.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2a(2)(2019·广东中考)已知x=2y+3,则代数式4x-8y+9的值是_________.21【明·技法】整体代入法求代数式值的三种方法(1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中,即可得出结果.(2)把已知式子变形后再整体代入求值:如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系,各字母的项的系数对应成比例,就可以把这一部分看作一个整体,再把要求值的代数式变形后整体代入计算求值.(3)把所求式子和已知式子都变形,再整体代入求值:将已知条件和所求的代数式同时变形,使它们含有相同的式子,再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式,计算得出结果.【题组过关】1.(2019·广州荔湾区期末)学校新建教学大楼拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形的窗户,相关数据(单位:米)如图所示,那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是()DA.(4a+2b)米B.(a2+ab)米C.(6a+2b)米D.(5a+2b)米2.(传统数学文化)历史上,数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示,把x等于某数a时的多项式的值用f(a)来表示,例如x=-1时,多项式f(x)=x2+3x-5的值记为f(-1),那么f(-1)等于()A.-7B.-9C.-3D.-1A3.(2019·武汉期中)张大伯从报社以每份0.7元的价格购进了a份报纸,以每份1.5元的价格售出了b份报纸,剩余的以每份0.4元的价格退回报社,则张大伯卖报盈利____________元.(1.1b-0.3a)4.(2019·广州三模)已知a2+a-3=0,那么a2(a+4)的值是________.世纪金榜导学号9考点二整式的相关概念及整式加减【主干必备】一、整式的相关概念2.同类项:所含字母_____,且相同字母指数也_____的单项式.相同相同二、整式的加减1.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项,所得项的系数是合并前各同类项的系数的_________,且字母连同它的指数不变.和2.去、添括号法则:(1)去括号法则:a+(b+c)=a+__________,a-(b+c)=a-__________.(2)添括号法则:a+b+c=a+(__________),a-b-c=a-(__________).b+cb-cb+cb+c【微点警示】同类项的判断要抓住两个相同:一是所含字母相同;二是相同字母的指数相同,与系数的大小和字母的顺序无关.所有的常数项是同类项.【核心突破】【例2】【原型题】(2018·包头中考)如果2xa+1y与x2yb-1是同类项,那么的值是()A.B.C.1D.3ab1232A【变形题1】(变换说法)如果2xa+1y与x2yb-1的和仍是单项式,那么的值是()A.B.C.1D.3ab1232A【变形题2】(变换说法)如果单项式2xa+1y与x2yb-1可以合并,那么的值是()A.B.C.1D.3ab1232A【明·技法】整式加减的步骤及注意问题(1)一般步骤:先去括号,再合并同类项.(2)注意问题:去括号时要注意两个方面:①括号前有数字因数时,去掉括号,因数要乘以括号内的每一项;②括号前面是负号时,去掉括号,括号内的每一项都要改变符号.【题组过关】1.(2019·滨州中考)若8xmy与6x3yn的和是单项式,则(m+n)3的平方根为()A.4B.8C.±4D.±8D2.(2019·绵阳中考)单项式x-|a-1|y与是同类项,则ab=________.世纪金榜导学号b12xy－13.(2019·昆明期末)先化简,再求值:-2(-x2+5+4x)-(2x2-4-5x),其中x=-2.【解析】-2(-x2+5+4x)-(2x2-4-5x)=2x2-10-8x-2x2+4+5x=-3x-6,当x=-2时,原式=6-6=0.考点三幂的运算【主干必备】幂的运算同底数幂的乘法am·an=_____注意:a≠0,b≠0,且m,n都为正整数幂的乘方(am)n=____积的乘方(ab)n=______同底数幂的除法am÷an=_____am+namnanbnam-n【微点警示】运用幂的运算性质进行计算需注意的两个问题:(1)注意不要出现符号错误,(-a)n=-an(n为奇数),(-a)n=an(n为偶数).(2)要灵活运用性质的逆运算,如已知3m=4,2n=3,则9m·8n=(3m)2·(2n)3=432.【核心突破】【例3】(1)(2019·盐城中考)下列运算正确的是()A.a5·a2=a10B.a3÷a=a2C.2a+a=2a2D.(a2)3=a5B(2)(2019·绵阳中考)已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则22m+6n=()A.ab2B.a+b2C.a2b3D.a2+b3A【明·技法】幂的运算的应用(1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题,转化成同底数,再应用法则.(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.【题组过关】1.(2019·安徽模拟)下列运算正确的是()A.-(x-y)2=-x2-2xy-y2B.a2+a2=a4C.a2·a3=a6D.(xy2)2=x2y4D2.计算:(-x2)3÷(x2·x)=___.3.(2019·重庆忠县期中)已知(anbm+4)3=a9b6,则mn=___.世纪金榜导学号-x3-8考点四整式的乘除【主干必备】整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的_____、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的_____作为积的一个因式系数指数整式的乘法单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积_____,即m(a+b+c)=_________多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的_______,再把所得的积_____,即(m+n)(a+b)=____________相加ma+mb+mc每一项相加ma+mb+na+nb整式的除法单项式除以单项式把_____与相同字母分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的______作为商的一个因式多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商_____.系数指数相加【微点警示】多项式的乘法运算需注意的三点:(1)避免漏乘常数项.(2)避免符号错误.(3)展开式中有同类项的一定要合并.【核心突破】【例4】(1)(2018·武汉中考)计算(a-2)(a+3)的结果是()A.a2-6B.a2+a-6C.a2+6D.a2-a+6B(2)(2019·甘肃中考)计算(-2a)2·a4的结果是()A.-4a6B.4a6C.-2a6D.-4a8B【明·技法】整式乘法运算中的几点注意(1)单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式,再把所得的积相加.(2)在运算时,要注意每一项的符号.(3)单项式乘多项式,积的项数与多项式的项数一样.(4)不要漏乘多项式中的项,特别是多项式中含有+1或-1的项.【题组过关】1.(2019·哈尔滨香坊区月考)下列运算正确的是()A.3x3·5x2=15x6B.4y·(-2xy2)=-8xy3BC.(-3x)2·4x3=-12x5D.(-2a)3·(-3a)2=-54a52.(2019·青岛中考)计算(-2m)2·(-m·m2+3m3)的结果是()A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m5A3.(新定义运算题)随着数学学习的深入,数系不断扩充,引入新数i,规定i2=-1,并且新数i满足交换律、结合律和分配律,则(1+i)·(2-i)的运算结果是()世纪金榜导学号A.3-iB.2+iC.1-iD.3+iD4.(2019·长春南关区期中)若x+y=xy,则(x-1)(y-1)=________.5.(2019·沈阳市铁西区模拟)计算:(6x4-8x3)÷(-2x2)=________.世纪金榜导学号1-3x2+4x考点五乘法公式的应用【主干必备】1.平方差公式:(a+b)(a-b)=___________.2.完全平方公式:(a±b)2=________________.a2-b2a2±2ab+b2【微点警示】运用完全平方公式常出现的易错点:(a±b)2=a2±b2.【核心突破】【例5】(2018·乐山中考)已知实数a,b满足a+b=2,ab=则a-b=()A.1B.-C.±1D.±34，5252C【明·技法】乘法公式常用变形技巧(1)(a+b)2=(a2+b2)+2ab,(a-b)2=(a2+b2)-2ab.(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.(3)a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab,a2+b2=(4)4ab=(a+b)2-(a-b)2.(5)(a-b)2=(b-a)2,(a-b)3=-(b-a)3.22abab.2（）（）【题组过关】1.如果a+b=7,ab=12,那么a2+b2的值是()A.11B.49C.25D.61C2.(2019·枣庄中考)若m-=3,则m2+=_______.3.(2019·资阳安岳期末)计算:20182-2019×2017=________.1111m21m4.(阅读理解题)某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成(4-1)后,发现可以连续运用平方差公式计算:3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=(42)2-12=256-1=255.请借鉴该同学的方法计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=___________.世纪金榜导学号24096-1考点六整式化简及求值【核心突破】【例6】(2018·邵阳中考)先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=1.2【思路点拨】原式利用平方差公式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.【自主解答】原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab,当a=-2,b=时,原式=-4.12【明·技法】整式化简求值的注意问题整式的化简求值,通常涉及单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等,在运算过程中,要正确运用乘法法则、去括号法则及乘法公式,不要出现类似(x-y)2=x2-y2的错误.【题组过关】1.(2019·广饶模拟)已知x满足x2-4x-2=0,求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.【解析】原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9,∵x2-4x-2=0,∴x2-4x=2,∴原式=3(x2-4x)+9=3×2+9=6+9=15.2.(2019·凉山州中考)先化简,再求值:(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-1.2【解析】原式=a2+6a+9-(a2-1)-4